Identidades notables: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de identidades notables resueltos paso a paso: cuadrado de una suma y de una diferencia, suma por diferencia, factorizar y usarlas para calcular de cabeza.
⚠ Las vas a encontrar con tres nombres y son lo mismo: identidades notables, productos notables e igualdades notables.
Cada ejercicio con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
Las tres identidades notables
Lo que hay que saber
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 — el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 — igual, pero el término del medio se resta. ⚠ El último sigue sumando: un cuadrado nunca es negativo.
(a + b)(a − b) = a2 − b2 — la única en la que el término del medio desaparece, y por eso es la que más se usa para factorizar.
⛔ El error que hay que quitarse de encima el primer día: (a + b)2 no es a2 + b2. Con números se ve en un segundo: (2 + 3)2 = 25, y 22 + 32 = 13.
Cuadrado de una suma y de una diferencia
1Desarrolla (x + 3)2.
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Cuadrado del primero: (x)2 = x2. Doble del primero por el segundo: 2 · x · 3 = 6x, que se suma. Cuadrado del segundo: 32 = 9.
Queda: x2 + 6x + 9.
⚠ El término del medio es el que se olvida: (x + 3)2 no es x2 + 9.
2Desarrolla (x − 5)2.
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Cuadrado del primero: (x)2 = x2. Doble del primero por el segundo: 2 · x · 5 = 10x, que se RESTA. Cuadrado del segundo: 52 = 25.
Queda: x2 − 10x + 25.
⚠ El término del medio es el que se olvida: (x − 5)2 no es x2 − 25.
3Desarrolla (3x + 2)2.
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Cuadrado del primero: (3x)2 = 9x2. Doble del primero por el segundo: 2 · 3x · 2 = 12x, que se suma. Cuadrado del segundo: 22 = 4.
Queda: 9x2 + 12x + 4.
⚠ El término del medio es el que se olvida: (3x + 2)2 no es 9x2 + 4.
4Desarrolla (2x − 7)2.
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Cuadrado del primero: (2x)2 = 4x2. Doble del primero por el segundo: 2 · 2x · 7 = 28x, que se RESTA. Cuadrado del segundo: 72 = 49.
Queda: 4x2 − 28x + 49.
⚠ El término del medio es el que se olvida: (2x − 7)2 no es 4x2 − 49.
Suma por diferencia
5Desarrolla (x + 4)(x − 4).
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(x)2 − 42 = x2 − 16.
⚠ Si se multiplica a lo bruto salen cuatro términos y dos se anulan: x2 − 4x + 4x − 16.
6Desarrolla (3x + 5)(3x − 5).
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(3x)2 − 52 = 9x2 − 25.
⚠ Si se multiplica a lo bruto salen cuatro términos y dos se anulan: 9x2 − 15x + 15x − 25.
7Desarrolla (6x + 7)(6x − 7).
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(6x)2 − 72 = 36x2 − 49.
⚠ Si se multiplica a lo bruto salen cuatro términos y dos se anulan: 36x2 − 42x + 42x − 49.
Factorizar con identidades notables
⚠ La pista son los extremos: si los dos son cuadrados perfectos, hay candidata. Si además el del medio es el doble del producto de sus raíces, es un cuadrado; si no hay término del medio y restan, es una suma por diferencia.
8Factoriza x2 + 14x + 49 usando una identidad notable.
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Los extremos son cuadrados —x2 y 49— y el término del medio es justo el doble del producto de sus raíces, así que es el cuadrado de una suma.
Queda: (x + 7)2.
⚠ Comprobación: si se vuelve a desarrollar tiene que salir x2 + 14x + 49 otra vez.
9Factoriza x2 − 81 usando una identidad notable.
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Es una diferencia de cuadrados: x2 = (x)2 y 81 = 92. Entonces se parte en la suma por la diferencia.
Queda: (x + 9)(x − 9).
⚠ Comprobación: si se vuelve a desarrollar tiene que salir x2 − 81 otra vez.
10Factoriza 25x2 + 20x + 4 usando una identidad notable.
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Los extremos son cuadrados —25x2 y 4— y el término del medio es justo el doble del producto de sus raíces, así que es el cuadrado de una suma.
Queda: (5x + 2)2.
⚠ Comprobación: si se vuelve a desarrollar tiene que salir 25x2 + 20x + 4 otra vez.
Usarlas para calcular de cabeza
11Calcula 1012 sin calculadora, usando una identidad notable.
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Se escribe 101 como 100 + 1 y se aplica el cuadrado de una suma.
1002 + 2 · 100 · 1 + 12 = 10000 + 200 + 1 = 10201.
12Calcula 992 sin calculadora, usando una identidad notable.
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Se escribe 99 como 100 − 1 y se aplica el cuadrado de una diferencia.
1002 − 2 · 100 · 1 − 12 = 10000 − 200 + 1 = 9801.
Descargar ejercicios de Identidades Notables Matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de identidades notables de matemáticas resueltos paso a paso, de 2.º de ESO a 1.º de Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Identidades notables en 2.º de ESO
En 2.º aparecen las tres por primera vez, con letras sencillas, y casi siempre para desarrollar, no para factorizar.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Identidades notables en 3.º de ESO
3.º es el curso en el que se usan de verdad: factorizar polinomios y simplificar fracciones algebraicas.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 3.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Identidades notables en 4.º de ESO
En 4.º ya son una herramienta: aparecen al resolver ecuaciones, al racionalizar denominadores con el conjugado (que es justo la suma por diferencia) y al operar con radicales.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Identidades notables en 1.º de Bachillerato
En Bachillerato no se estudian: se dan por sabidas. Salen en límites (para quitar indeterminaciones), en derivadas y en el binomio de Newton, que es la misma idea con exponentes mayores.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.