M.c.m. y m.c.d.: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de m.c.m. y m.c.d. resueltos paso a paso: descomposición en factores primos, máximo común divisor, mínimo común múltiplo y los problemas, que es donde está la dificultad real.
Cada uno con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
Cómo se calculan el m.c.d. y el m.c.m.
Lo que hay que saber
Los dos salen de lo mismo: descomponer en factores primos.
M.c.d.: factores comunes con el exponente menor. M.c.m.: todos los factores con el exponente mayor.
⚠ Y lo que de verdad cuesta no es calcularlos: es saber cuál pide el problema. «Vuelven a coincidir», «otra vez a la vez» → m.c.m.. «Repartir sin que sobre», «trozos lo más grandes posible» → m.c.d.
Descomposición en factores primos
1Descompón 60 en factores primos.
Ver solución
Se va dividiendo entre los primos de menor a mayor: 2, 3, 5, 7…
60 = 22 · 3 · 5.
⚠ Se termina cuando el cociente es 1, no antes.
2Descompón 360 en factores primos.
Ver solución
Se va dividiendo entre los primos de menor a mayor: 2, 3, 5, 7…
360 = 23 · 32 · 5.
⚠ Se termina cuando el cociente es 1, no antes.
Máximo común divisor (m.c.d.)
⚠ Si no hay ningún factor común el m.c.d. es 1 (son primos entre sí), no «no existe».
3Calcula el m.c.d. de 12 y 18.
Ver solución
Se descomponen: 12 = 22 · 3 y 18 = 2 · 32.
Para el m.c.d. se cogen los factores comunes con el exponente menor: 2 · 3.
El m.c.d. es 6.
4Calcula el m.c.d. de 48 y 72 y 120.
Ver solución
48 = 24 · 3, 72 = 23 · 32 y 120 = 23 · 3 · 5.
Comunes a los TRES con el menor exponente: 23 · 3 = 24.
El m.c.d. es 24.
5Calcula el m.c.d. de 35 y 64.
Ver solución
35 = 5 · 7 y 64 = 26.
⚠ No tienen ningún factor común, así que el m.c.d. es 1: son primos entre sí. No es que no exista.
El m.c.d. es 1.
Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
6Calcula el m.c.m. de 12 y 18.
Ver solución
12 = 22 · 3 y 18 = 2 · 32.
Para el m.c.m. se cogen todos los factores, comunes y no comunes, con el exponente mayor: 22 · 32 = 36.
El m.c.m. es 36.
7Calcula el m.c.m. de 6 y 10 y 15.
Ver solución
6 = 2 · 3, 10 = 2 · 5 y 15 = 3 · 5.
Todos: 2 · 3 · 5 = 30.
El m.c.m. es 30.
8Calcula el m.c.m. de 4 y 9.
Ver solución
4 = 22 y 9 = 32.
⚠ Al ser primos entre sí, el m.c.m. es su producto: 36.
El m.c.m. es 36.
Problemas de m.c.m. y m.c.d.
⚠ Aquí está la dificultad: decidir cuál de los dos toca.
9Dos autobuses salen de la misma parada: uno cada 12 minutos y otro cada 18. Si salen juntos a las 9:00, ¿a qué hora vuelven a coincidir?
Ver solución
Coinciden en los minutos que son múltiplo de los dos: es un m.c.m.
m.c.m.(12, 18) = 36.
Vuelven a salir juntos a las 9:36.
⚠ La pista para distinguirlo: «vuelven a coincidir», «otra vez a la vez» → m.c.m.
10Se quieren cortar dos cuerdas de 24 m y 36 m en trozos iguales y lo más largos posible, sin que sobre nada. ¿Cuánto mide cada trozo?
Ver solución
El trozo tiene que dividir a los dos largos, y se quiere el mayor: es un m.c.d.
m.c.d.(24, 36) = 12.
Cada trozo mide 12 m: salen 2 de la primera y 3 de la segunda.
⚠ La pista: «repartir sin que sobre», «lo más grande posible» → m.c.d.
11Tres luces parpadean cada 4, 6 y 10 segundos. Si se encienden a la vez, ¿cada cuántos segundos vuelven a coincidir?
Ver solución
Otra vez «vuelven a coincidir»: m.c.m. de los tres.
4 = 22, 6 = 2 · 3 y 10 = 2 · 5 → m.c.m. = 22 · 3 · 5 = 60.
Cada 60 segundos, o sea cada minuto.
Descargar ejercicios de m.c.m. y m.c.d. en PDF
Todos los ejercicios de m.c.m. y m.c.d. de matemáticas resueltos paso a paso, de 5.º de Primaria a 3.º de ESO, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
M.c.m. y m.c.d. en 5.º de Primaria
En Primaria se trabaja la divisibilidad: múltiplos, divisores y los criterios para saber si un número es divisible entre 2, 3 o 5.
Y el cuadernillo completo de 5.º de Primaria, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 5.º de Primaria están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
M.c.m. y m.c.d. en 1.º de ESO
En 1.º llegan la descomposición en factores primos y, con ella, el m.c.d. y el m.c.m. de verdad.
Y el cuadernillo completo de 1.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
M.c.m. y m.c.d. en 3.º de ESO
En 3.º se usan como herramienta: el m.c.m. para sumar fracciones con denominadores distintos y el m.c.d. para simplificarlas.
Y el cuadernillo completo de 3.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 3.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.