Teorema de Pitágoras: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios del teorema de Pitágoras resueltos paso a paso: calcular la hipotenusa, calcular un cateto, saber si un triángulo es rectángulo y los problemas, que es donde está la dificultad de verdad.
Cada uno con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
El teorema, y los dos errores que se repiten siempre
Lo que hay que saber
En un triángulo rectángulo (el que tiene un ángulo de 90°), h2 = a2 + b2: el cuadrado de la hipotenusa —el lado de enfrente del ángulo recto, y siempre el más largo— es la suma de los cuadrados de los catetos.
⛔ Error 1: sumar cuando hay que restar. Si lo que falta es un cateto, b2 = h2 − a2. Se pilla solo: si sumas, el lado que falta te sale más largo que la hipotenusa, y eso es imposible.
⛔ Error 2: equivocarse de lado al usarlo al revés. Para saber si un triángulo es rectángulo, el cuadrado que va solo es el del lado mayor. Con cualquier otro lado sale siempre que no.
⚠ Y una advertencia sobre la calculadora: la raíz casi nunca es exacta. √20 no es 4,47 — es aproximadamente 4,47, y por eso se escribe con ≈.
Calcular la hipotenusa
⚠ El tercero no sale exacto: se deja con ≈ y dos decimales.
1Si los catetos de una escuadra miden 3 cm y 4 cm, ¿cuánto mide la hipotenusa?
Ver solución
h2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
h = √25 = 5.
2Si una pantalla mide 5 pulgadas de alto y 12 de ancho, ¿cuánto mide la diagonal?
Ver solución
h2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169.
h = √169 = 13.
3Si un rectángulo mide 2 cm por 3 cm, ¿cuánto mide la diagonal?
Ver solución
h2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13.
h = √13 ≈ 3,61.
Calcular un cateto
4Una escalera de 13 m está apoyada en una pared y su pie queda a 5 m de ella. ¿A qué altura llega la escalera?
Ver solución
b2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144.
b = √144 = 12.
⚠ El error típico es sumar: la hipotenusa (13) es el lado MÁS LARGO, así que lo que falta tiene que salir menor que ella.
5Una rampa mide 25 cm de largo y avanza 24 cm en horizontal. ¿Cuánto sube?
Ver solución
b2 = 252 − 242 = 625 − 576 = 49.
b = √49 = 7.
⚠ El error típico es sumar: la hipotenusa (25) es el lado MÁS LARGO, así que lo que falta tiene que salir menor que ella.
6Una escalera de 5 m tiene el pie a 2 m de la pared. ¿A qué altura llega?
Ver solución
b2 = 52 − 22 = 25 − 4 = 21.
b = √21 ≈ 4,58.
⚠ El error típico es sumar: la hipotenusa (5) es el lado MÁS LARGO, así que lo que falta tiene que salir menor que ella.
¿Es rectángulo? El teorema al revés
⚠ Fíjate en que no todos salen que sí: el segundo no es rectángulo, y eso es parte del ejercicio.
7¿Es rectángulo un triángulo de lados 3, 4 y 5?
Ver solución
El mayor es 5. 52 = 25, y 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
Como 25 = 25, sí es rectángulo.
8¿Es rectángulo un triángulo de lados 5, 6 y 8?
Ver solución
El mayor es 8. 82 = 64, y 52 + 62 = 25 + 36 = 61.
Como 64 ≠ 61, NO es rectángulo.
9¿Es rectángulo un triángulo de lados 8, 15 y 17?
Ver solución
El mayor es 17. 172 = 289, y 82 + 152 = 64 + 225 = 289.
Como 289 = 289, sí es rectángulo.
Problemas del teorema de Pitágoras
10Una tele se anuncia por su diagonal. Si la pantalla mide 40 cm de ancho y 30 cm de alto, ¿cuántas pulgadas (2,54 cm) tiene esa diagonal?
Ver solución
La diagonal es la hipotenusa del rectángulo de la pantalla.
Diagonal2 = 402 + 302 = 1600 + 900 = 2500.
Diagonal = √2500 = 50.
Y en pulgadas: 50 : 2,54 ≈ 19,7.
11Un barco navega 12 km al norte y después 16 km al este. ¿A qué distancia está del punto de partida?
Ver solución
Los dos tramos son perpendiculares, así que forman un triángulo rectángulo y la distancia buscada es la hipotenusa.
Distancia2 = 122 + 162 = 144 + 256 = 400.
Distancia = √400 = 20.
12Una cometa sube 15 m en vertical mientras se aleja 20 m en horizontal. ¿Cuánta cuerda se ha soltado?
Ver solución
La cuerda es la hipotenusa: la altura y la distancia en el suelo son los catetos.
Cuerda2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625.
Cuerda = √625 = 25.
Descargar ejercicios de Teorema de Pitágoras Matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de teorema de Pitágoras de matemáticas resueltos paso a paso, de 2.º y 3.º de ESO, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Teorema de Pitágoras en 2.º de ESO
2.º es el curso en el que entra: calcular el lado que falta y los primeros problemas con escaleras, rampas y diagonales.
Y el cuadernillo completo de 2.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Teorema de Pitágoras en 3.º de ESO
En 3.º se usa como herramienta dentro de otros temas: áreas y volúmenes (la apotema, la altura de un triángulo, la generatriz de un cono) y la distancia entre dos puntos en el plano, que es Pitágoras con coordenadas.
Y el cuadernillo completo de 3.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 3.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Teorema de Pitágoras en 4.º de ESO
En 4.º ya no se estudia solo: aparece dentro de la trigonometría —la relación fundamental sen2α + cos2α = 1 es Pitágoras en una circunferencia de radio 1— y de la geometría analítica.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.