Programación lineal: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de programación lineal resueltos paso a paso: la región factible y sus vértices, optimizar la función objetivo y los problemas con enunciado, que es lo que cae en selectividad.
Cada uno con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
Cómo se resuelve un problema de programación lineal
Lo que hay que saber
1. Traducir. Se nombran las incógnitas (x, y), se escribe cada frase del enunciado como una desigualdad y no se olvidan las de siempre: x ≥ 0, y ≥ 0.
2. Dibujar la región factible. Cada desigualdad es un semiplano; la región es lo que cumplen todas a la vez. Sus vértices salen de cortar las rectas de dos en dos. ⚠ No todo corte es un vértice: hay que descartar los que no cumplen todas las restricciones.
3. Evaluar. El teorema fundamental dice que, si el óptimo existe, está en un vértice. Así que se calcula la función objetivo en todos y se elige el mejor. No hace falta probar puntos de dentro.
⚠ Dos avisos: si la región no está acotada, puede que el máximo no exista (y el mínimo sí); y si dos vértices dan el mismo valor, la solución es todo el segmento que los une, no un punto.
La región factible y sus vértices
1Dibuja la región factible del sistema x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6, 2x + y ≤ 8 y halla sus vértices.
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Cada desigualdad es un semiplano: se dibuja su recta y se mira de qué lado queda. La región factible es lo que cumplen TODAS a la vez.
Los vértices salen de cortar las rectas de dos en dos, y de esos cortes solo valen los que cumplen todas las restricciones.
Restricciones: x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 6; 2x + y ≤ 8.
Vértices: (0, 0), (4, 0), (2, 4), (0, 6).
2Halla los vértices de la región x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15.
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Se cortan las rectas de dos en dos y se descartan los puntos que no cumplen todas las restricciones.
Restricciones: x ≥ 0; y ≥ 0; x + 2y ≤ 10; 3x + y ≤ 15.
Vértices: (0, 0), (5, 0), (4, 3), (0, 5).
Optimizar la función objetivo
⚠ El tercero tiene la región no acotada: el mínimo existe y el máximo no. Conviene verlo una vez.
3Maximiza F(x, y) = 3x + 2y en la región x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6, 2x + y ≤ 8.
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El teorema fundamental dice que el óptimo, si existe, está en un vértice de la región. Así que basta evaluar F en todos ellos.
⚠ No hace falta probar puntos de dentro: con los vértices es suficiente.
Restricciones: x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 6; 2x + y ≤ 8.
Vértices: (0, 0), (4, 0), (2, 4), (0, 6).
F en cada vértice: F(0, 0) = 0; F(4, 0) = 12; F(2, 4) = 14; F(0, 6) = 12.
El máximo es 14, en el vértice (2, 4).
4Maximiza F(x, y) = 4x + y en la región x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15.
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Se evalúa la función objetivo en cada vértice y se elige el mayor.
Restricciones: x ≥ 0; y ≥ 0; x + 2y ≤ 10; 3x + y ≤ 15.
Vértices: (0, 0), (5, 0), (4, 3), (0, 5).
F en cada vértice: F(0, 0) = 0; F(5, 0) = 20; F(4, 3) = 19; F(0, 5) = 5.
El máximo es 20, en el vértice (5, 0).
5Minimiza F(x, y) = 2x + 5y en la región x ≥ 1, y ≥ 1, x + y ≥ 4.
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La región no está acotada por arriba, pero sí por abajo, así que el mínimo sí existe y está en un vértice.
⚠ Con regiones no acotadas hay que mirar si el óptimo que se busca existe: aquí el máximo no existiría, porque se puede crecer sin límite.
Restricciones: x ≥ 1; y ≥ 1; x + y ≥ 4.
Vértices: (1, 3), (3, 1).
F en cada vértice: F(1, 3) = 17; F(3, 1) = 11.
El mínimo es 11, en el vértice (3, 1).
Problemas de programación lineal
⛔ Aquí la mitad del ejercicio es traducir el enunciado. La otra mitad ya es mecánica.
6Una fábrica hace mesas y sillas. Cada mesa deja 30 € de beneficio y cada silla 20 €. No se pueden hacer más de 4 mesas, ni más de 6 sillas, ni más de 8 muebles en total. ¿Cuántas de cada una conviene fabricar?
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Lo primero es traducir: x = mesas, y = sillas. «No más de 4 mesas» es x ≤ 4; «no más de 8 muebles» es x + y ≤ 8. Y, como son cantidades, x ≥ 0 e y ≥ 0.
La función objetivo es el beneficio: F(x, y) = 30x + 20y.
⚠ Traducir el enunciado es la mitad del ejercicio: la otra mitad es mecánica.
Restricciones: x ≥ 0; y ≥ 0; x ≤ 4; y ≤ 6; x + y ≤ 8.
Vértices: (0, 0), (4, 0), (4, 4), (2, 6), (0, 6).
F en cada vértice: F(0, 0) = 0; F(4, 0) = 120; F(4, 4) = 200; F(2, 6) = 180; F(0, 6) = 120.
El máximo es 200, en el vértice (4, 4).
7Una pastelería hace tartas y bizcochos. Cada tarta necesita 2 huevos y cada bizcocho 1 huevo; hay 10 huevos. Cada tarta necesita 1 h de horno y cada bizcocho 1 h; el horno está 6 h. Si cada tarta deja 12 € y cada bizcocho 8 €, ¿qué conviene hacer?
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x = tartas, y = bizcochos. Los huevos dan 2x + y ≤ 10 y el horno, x + y ≤ 6.
La función objetivo es el beneficio: F(x, y) = 12x + 8y.
Restricciones: x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + y ≤ 10; x + y ≤ 6.
Vértices: (0, 0), (5, 0), (4, 2), (0, 6).
F en cada vértice: F(0, 0) = 0; F(5, 0) = 60; F(4, 2) = 64; F(0, 6) = 48.
El máximo es 64, en el vértice (4, 2).
8Una dieta necesita al menos 8 unidades de vitamina A y al menos 5 de vitamina B. El alimento X aporta 2 unidades de A y 1 de B por ración; el alimento Y aporta 1 de A y 1 de B. Si X cuesta 5 € la ración e Y cuesta 3 €, ¿cuántas raciones de cada uno salen más baratas?
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⚠ Aquí las restricciones son «al menos», así que llevan ≥ y la región queda abierta por arriba: el máximo no existiría, pero el mínimo sí.
x = raciones de X, y = raciones de Y. La vitamina A da 2x + y ≥ 8 y la B, x + y ≥ 5. La función objetivo es el coste, y se busca el MÍNIMO.
Restricciones: x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + y ≥ 8; x + y ≥ 5.
Vértices: (0, 8), (3, 2), (5, 0).
F en cada vértice: F(0, 8) = 24; F(3, 2) = 21; F(5, 0) = 25.
El mínimo es 21, en el vértice (3, 2).
Descargar ejercicios de Programación Lineal Matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de programación lineal de matemáticas resueltos paso a paso, de 2.º de Bachillerato (CCSS), en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Programación lineal en 2.º de Bachillerato
Es un tema de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II y cae casi todos los años en selectividad, normalmente con un problema de enunciado: producción, transporte o dietas.
⚠ En la modalidad de Ciencias no se estudia: allí el álgebra lineal va por matrices y determinantes.
Y el cuadernillo completo de 2.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Lo que hace falta de 1.º
Todo lo que se necesita viene de antes: representar rectas, resolver sistemas de dos ecuaciones (para los vértices) e interpretar inecuaciones en el plano.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.