Continuidad: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de continuidad resueltos paso a paso: estudiar la continuidad en un punto, clasificar discontinuidades, funciones a trozos y hallar el parámetro.
Cada uno con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
Las tres condiciones, y qué decide el tipo
Lo que hay que saber
Una función es continua en x = a cuando se cumplen las tres condiciones: que exista f(a), que existan los dos límites laterales y sean iguales, y que ese límite valga f(a). ⚠ Basta que falle una.
⛔ Si falla alguna, lo que queda es decir de qué tipo es la discontinuidad, y eso lo deciden los límites laterales, en este orden: si los dos existen y son iguales, es evitable; si existen y son distintos, es de salto finito; y si alguno se va a infinito, es de salto infinito (y ahí hay una asíntota vertical).
⚠ «Evitable» se llama así porque se arregla con un solo retoque: definiendo f(a) igual al límite, la función pasa a ser continua.
En las funciones a trozos el único punto que hay que estudiar es el del cambio de trozo. ⛔ Y un cambio de trozo no significa que haya un salto: hay que mirarlo.
¿Es continua en un punto?
1Estudia si f(x) = x2 + 1 es continua en x = 2.
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Aquí es un polinomio, y los polinomios son continuos en todos los puntos, así que f(2) = 5 y el límite vale lo mismo.
Sí es continua en x = 2.
2Estudia si f(x) = (x2 − 4) / (x − 2) es continua en x = 2.
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Aquí en x = 2 el denominador se anula, así que f(2) no existe.
No es continua en x = 2: falla ya la primera condición.
3Estudia si f(x) = 1 / x es continua en x = 0.
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Aquí en x = 0 no existe f(0) y además los laterales se van a infinito.
No es continua en x = 0: falla ya la primera condición.
Clasificar una discontinuidad
⚠ Fíjate en el último: los dos laterales se van a +∞, o sea que «coinciden», y aun así NO es evitable. Para ser evitable el límite tiene que ser un número.
4Clasifica la discontinuidad de f(x) = (x2 − 4) / (x − 2) en x = 2.
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f(2) no existe, así que discontinua seguro. Lo que queda es decir de qué tipo, y eso lo deciden los límites laterales.
Los dos laterales valen lo mismo (4), pero f(2) no existe.
Se evita definiendo f(2) = 4: con ese único retoque la función pasa a ser continua. Por eso se llama evitable.
5Clasifica la discontinuidad de f(x) = 1 / x en x = 0.
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f(0) no existe, así que discontinua seguro. Lo que queda es decir de qué tipo, y eso lo deciden los límites laterales.
Por la izquierda se va a −∞ y por la derecha a +∞.
Es una discontinuidad de salto infinito, y x = 0 es una asíntota vertical.
6Clasifica la discontinuidad de f(x) = 1 / (x − 1)2 en x = 1.
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f(1) no existe, así que discontinua seguro. Lo que queda es decir de qué tipo, y eso lo deciden los límites laterales.
Por los dos lados se va a +∞.
Salto infinito también: que los dos lados coincidan en el infinito no la hace evitable, porque el límite no es un número.
Continuidad de una función a trozos
⛔ El último es continuo en el cambio de trozo. Está aquí a propósito: si todos saltaran, se aprendería que «cambio de trozo» es lo mismo que «salto», y es falso.
7Estudia la continuidad de f(x) = 2x + 1 si x < 1, y f(x) = x2 + 3 si x ≥ 1 en x = 1.
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El punto que hay que mirar es el del cambio de trozo, x = 1: dentro de cada trozo son polinomios y no hay nada que estudiar.
Límite por la izquierda: 2,999998. Límite por la derecha: 4,000002.
Son distintos, así que hay una discontinuidad de salto finito en x = 1, de tamaño 4,000002 − 2,999998 = 1,000004.
8Estudia la continuidad de f(x) = x + 3 si x < 2, y f(x) = 5 − x si x ≥ 2 en x = 2.
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Límite por la izquierda: 4,999999. Límite por la derecha: 2,999999.
Son distintos, así que hay una discontinuidad de salto finito en x = 2, de tamaño 2,999999 − 4,999999 = 2.
9Estudia la continuidad de f(x) = 3x − 1 si x < 2, y f(x) = x + 3 si x ≥ 2, en x = 2.
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Límite por la izquierda: 4,999997. Límite por la derecha: 5,000001.
Coinciden, y f(2) = 5.
⚠ Sí es continua en x = 2: que haya un cambio de trozo no significa que haya un salto.
Hallar el parámetro para que sea continua
10Halla el valor de k para que f(x) = x + k si x < 1, y f(x) = 3x si x ≥ 1 sea continua en x = 1.
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La función es continua en cada trozo, así que lo único que hay que forzar es que los dos límites laterales coincidan en x = 1.
Por la izquierda el límite es 1 + k; por la derecha, 3 · 1 = 3.
Para que sea continua tienen que ser iguales: 1 + k = 3.
Queda k = 2.
11Halla el valor de k para que f(x) = 2x + k si x < 2, y f(x) = x2 si x ≥ 2 sea continua en x = 2.
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La función es continua en cada trozo, así que lo único que hay que forzar es que los dos límites laterales coincidan en x = 2.
Por la izquierda, 4 + k; por la derecha, 22 = 4.
Se igualan: 4 + k = 4.
Queda k = 0.
12Halla el valor de k para que f(x) = kx si x < 3, y f(x) = x + 6 si x ≥ 3 sea continua en x = 3.
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La función es continua en cada trozo, así que lo único que hay que forzar es que los dos límites laterales coincidan en x = 3.
Por la izquierda, 3k; por la derecha, 3 + 6 = 9.
Se igualan: 3k = 9.
Queda k = 3.
Descargar ejercicios de Continuidad Matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de continuidad de matemáticas resueltos paso a paso, de 1.º y 2.º de Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Lo que hace falta de 4.º de ESO
Hay que manejar las funciones a trozos y saber leer una gráfica: la continuidad es, en el fondo, «poder dibujarla sin levantar el lápiz».
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Continuidad en 1.º de Bachillerato
En 1.º se estudia la continuidad en un punto con las tres condiciones y se clasifican las discontinuidades.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Continuidad en 2.º de Bachillerato
En 2.º se usa junto con la derivabilidad —una función derivable es continua, pero no al revés— y aparecen los problemas de parámetro, que caen mucho en selectividad.
Y el cuadernillo completo de 2.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.