Teorema de Tales: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios del teorema de Tales resueltos paso a paso: segmentos proporcionales, triángulos semejantes, calcular alturas con sombras y dividir un segmento en una razón dada.
Cada uno con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
El teorema de Tales y la semejanza
Lo que hay que saber
Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas cualesquiera, los segmentos que determinan son proporcionales. Eso es el teorema de Tales, y de él sale una proporción que se resuelve con el producto cruzado.
Dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma y distinto tamaño: ángulos iguales y lados en la misma razón. ⚠ La misma en los tres pares, no solo en el que se usa para despejar.
Para lo que más se usa: los rayos de sol llegan paralelos, así que un objeto y su sombra forman triángulos semejantes. Con una regla y una sombra se mide la altura de un edificio al que no se puede subir.
Segmentos proporcionales: el teorema de Tales
1Dos rectas secantes están cortadas por dos paralelas. Si AB = 3 cm, AC = 6 cm y A′B′ = 4 cm, ¿cuánto mide A′C′?
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El teorema de Tales dice que las paralelas cortan a las dos rectas en segmentos proporcionales: AB/AC = A′B′/A′C′.
Se sustituye: 3/6 = 4/A′C′.
Se despeja con el producto cruzado: A′C′ = (6 · 4) : 3 = 8 cm.
⚠ Comprobación: 3 · 8 = 24 y 6 · 4 = 24. Los productos cruzados coinciden.
2Dos rectas secantes están cortadas por dos paralelas. Si MN = 4 cm, MP = 10 cm y M′N′ = 6 cm, ¿cuánto mide M′P′?
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El teorema de Tales dice que las paralelas cortan a las dos rectas en segmentos proporcionales: MN/MP = M′N′/M′P′.
Se sustituye: 4/10 = 6/M′P′.
Se despeja con el producto cruzado: M′P′ = (10 · 6) : 4 = 15 cm.
⚠ Comprobación: 4 · 15 = 60 y 10 · 6 = 60. Los productos cruzados coinciden.
Triángulos semejantes
⚠ Fíjate en que la razón puede ser menor que 1: entonces el segundo triángulo es más pequeño, y no pasa nada.
3Un triángulo tiene los lados 3, 4 y 5 cm. Otro, semejante a él, tiene el lado menor de 6 cm. ¿Cuánto miden los otros dos?
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Dos triángulos semejantes tienen todos sus lados en la misma razón. La razón sale del par que se conoce: 6 : 3 = 2.
Los otros dos se multiplican por esa razón: 4 · 2 = 8 y 5 · 2 = 10.
Miden 8 cm y 10 cm.
4Un triángulo tiene los lados 6, 8 y 10 cm. Otro, semejante a él, tiene el lado menor de 3 cm. ¿Cuánto miden los otros dos?
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Dos triángulos semejantes tienen todos sus lados en la misma razón. La razón sale del par que se conoce: 3 : 6 = 0,5.
Los otros dos se multiplican por esa razón: 8 · 0,5 = 4 y 10 · 0,5 = 5.
Miden 4 cm y 5 cm.
5Un triángulo tiene los lados 9, 12 y 15 cm. Otro, semejante a él, tiene el lado menor de 6 cm. ¿Cuánto miden los otros dos?
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Dos triángulos semejantes tienen todos sus lados en la misma razón. La razón sale del par que se conoce: 6 : 9 = 0,6666666667.
Los otros dos se multiplican por esa razón: 12 · 0,6666666667 = 8 y 15 · 0,6666666667 = 10.
Miden 8 cm y 10 cm.
Calcular alturas con sombras
6A la misma hora, una persona de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m y un árbol proyecta una sombra de 8 m. ¿Cuánto mide un árbol?
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1,5 / 2 = altura / 8.
altura = (1,5 · 8) : 2 = 6 m.
7A la misma hora, una farola de 1,8 m proyecta una sombra de 3 m y una torre proyecta una sombra de 15 m. ¿Cuánto mide una torre?
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1,8 / 3 = altura / 15.
altura = (1,8 · 15) : 3 = 9 m.
Dividir un segmento en una razón dada
8Divide un segmento de 12 cm en dos partes que estén en la razón 1 : 2.
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Si las partes están en la razón 1 : 2, el segmento se reparte en 1 + 2 = 3 partes iguales.
Cada parte mide 12 : 3 = 4 cm.
Entonces una mide 1 · 4 = 4 cm y la otra 2 · 4 = 8 cm.
⚠ Comprobación: 4 + 8 = 12, el segmento entero.
9Divide un segmento de 20 cm en dos partes que estén en la razón 2 : 3.
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Si las partes están en la razón 2 : 3, el segmento se reparte en 2 + 3 = 5 partes iguales.
Cada parte mide 20 : 5 = 4 cm.
Entonces una mide 2 · 4 = 8 cm y la otra 3 · 4 = 12 cm.
⚠ Comprobación: 8 + 12 = 20, el segmento entero.
Descargar ejercicios de Teorema de Tales Matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de teorema de Tales de matemáticas resueltos paso a paso, de 2.º y 3.º de ESO, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Teorema de Tales en 2.º de ESO
En 2.º se trabaja la proporcionalidad, que es la base: razones, proporciones y producto cruzado. El teorema como tal llega en 3.º.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Teorema de Tales en 3.º de ESO
3.º es el curso del tema: Tales, semejanza de triángulos, razón de semejanza y los problemas de sombras y planos.
Y el cuadernillo completo de 3.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 3.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Semejanza en 4.º de ESO
En 4.º la semejanza se extiende a las áreas y los volúmenes: si la razón de los lados es k, la de las áreas es k2 y la de los volúmenes k3. Es el error más repetido del bloque.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.