Ruffini: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de la regla de Ruffini resueltos paso a paso: dividir, hallar raíces, factorizar y el teorema del resto.
Cada división viene comprobada de dos formas, y el PDF con todas para imprimir.
⚠ Operar y factorizar polinomios en general está en ejercicios de polinomios. Aquí está Ruffini y lo que se hace con él.
Qué es la regla de Ruffini y cuándo se puede usar
Lo que hay que saber
La regla de Ruffini es un atajo para dividir un polinomio entre x − a. ⛔ Solo sirve para eso: si el divisor es x2 + 1 o 2x − 3, no se puede usar tal cual.
Se escriben los coeficientes en fila, se baja el primero, se multiplica por a y se suma al siguiente, y así hasta el final. Lo de abajo son los coeficientes del cociente, menos el último, que es el resto.
⚠ Dos cosas la estropean casi siempre: olvidar los 0 de los grados que faltan, y poner fuera el signo cambiado (para dividir entre x + 3 va el −3).
Dividir un polinomio con Ruffini
1Divide x3 − 2x2 − 5x + 6 entre x − 1 usando Ruffini.
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Se escriben los coeficientes en fila: 1, −2, −5, 6. Y fuera, el 1 (porque se divide entre x − 1).
Se baja el primero (1), se multiplica por 1 y se suma al siguiente: −2 + 1 = −1. Y así.
La fila de abajo queda 1, −1, −6 | 0: los tres primeros son el cociente y el último el resto.
El cociente es x2 − x − 6 y el resto 0.
2Divide x3 + 3x2 − 4 entre x − 1 usando Ruffini.
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⚠ Falta el término en x, así que los coeficientes son 1, 3, 0, −4. Saltarse el 0 descoloca toda la regla y es el fallo más repetido.
Bajando y operando con el 1: 1, 4, 4 | 0.
El cociente es x2 + 4x + 4 y el resto 0.
3Divide x3 − 7x + 6 entre x + 3 usando Ruffini.
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⚠ Para dividir entre x + 3 se pone fuera el −3, no el 3: el divisor es x − (−3).
Coeficientes 1, 0, −7, 6 → sale 1, −3, 2 | 0.
El cociente es x2 − 3x + 2 y el resto 0.
Hallar las raíces con Ruffini
Las raíces enteras son divisores del término independiente: se prueban de ahí, no al azar.
4Halla las raíces de x3 − 6x2 + 11x − 6 con Ruffini.
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Las raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente; aquí, divisores de −6: ±1, ±2, ±3, ±6.
Se prueba con 1 en Ruffini y el resto sale 0: el 1 es raíz.
El cociente es x2 − 5x + 6, cuyas raíces son 2 y 3.
Las tres raíces son 1, 2 y 3.
5Halla las raíces de x3 + 2x2 − x − 2 con Ruffini.
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Divisores de −2: ±1, ±2. Se prueba con 1 y el resto es 0.
Queda x2 + 3x + 2, con raíces −1 y −2.
Las raíces son 1, −1 y −2.
Factorizar con Ruffini
6Factoriza x3 − 6x2 + 11x − 6 con Ruffini.
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Con Ruffini y el 1 sale el cociente x2 − 5x + 6 y resto 0, así que P(x) = (x − 1)(x2 − 5x + 6).
Y lo de dentro se factoriza con sus raíces 2 y 3.
Queda (x − 1)(x − 2)(x − 3).
7Factoriza x3 + x2 − 4x − 4 con Ruffini.
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Se prueba con −1 y el resto es 0.
Queda x2 − 4, que es (x − 2)(x + 2).
Queda (x + 1)(x − 2)(x + 2).
Teorema del resto
El resto de dividir P(x) entre x − a es P(a): sirve para saber si algo es raíz sin dividir.
8¿Cuál es el resto de dividir x3 − 2x + 5 entre x − 2?
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El teorema del resto dice que el resto de dividir P(x) entre x − a es P(a), sin hacer la división.
P(2) = 8 − 4 + 5 = 9.
Y haciendo Ruffini sale lo mismo: cociente x2 + 2x + 2 y resto 9.
9¿Cuál es el resto de dividir x4 + 3x − 2 entre x − 1?
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P(1) = 1 + 3 − 2 = 2.
⚠ Si el resto hubiera salido 0, el 1 sería raíz. Como vale 2, no lo es.
Descargar ejercicios de Ruffini en PDF
Todos los ejercicios de Ruffini de matemáticas resueltos paso a paso, de 3.º de ESO a Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Ruffini en 4.º de ESO
En 4.º se usa sobre todo para factorizar polinomios de grado 3 y para simplificar fracciones algebraicas.
Y el cuadernillo completo de 4.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Ruffini en 1.º de Bachillerato
En Bachillerato es una herramienta: se factoriza con Ruffini para resolver límites con indeterminación 0/0 y para integrar funciones racionales.
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.