Polinomios: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de polinomios de matemáticas resueltos paso a paso: valor numérico, suma y resta, multiplicación, división, factorización y raíces.
Cada uno trae la solución desplegable con todos los pasos, y el PDF con todos para imprimir.
⚠ Dos cosas que se buscan mucho y tienen su propia página: la regla de Ruffini y las identidades notables. Aquí se usan, pero se explican allí.
Qué es un polinomio y qué se le puede hacer
Lo que hay que saber
Un polinomio es una suma de términos del tipo número · x elevado a un número natural: 3x2 − 5x + 2. El grado es el exponente más alto.
Con los polinomios se opera casi como con los números: se suman, se restan, se multiplican y se dividen. Lo que no se puede es sumar términos que no son semejantes: 3x2 y 5x no se juntan.
⚠ Y el orden que funciona al factorizar: primero factor común, luego las identidades notables y luego las raíces. Se sigue hasta que no se pueda más.
Valor numérico de un polinomio
1Halla el valor numérico de P(x) = x2 − 3x + 5 en x = 2.
Ver solución
El valor numérico es lo que sale al sustituir la x por el número.
P(2) = 22 − 3·2 + 5 = 4 − 6 + 5 = 3.
2Halla el valor numérico de P(x) = 2x3 − x + 4 en x = −1.
Ver solución
El valor numérico es lo que sale al sustituir la x por el número.
P(−1) = 2·(−1)3 − (−1) + 4 = −2 + 1 + 4. ⚠ Cuidado con los signos al elevar un número negativo: (−1)3 = −1, pero (−1)2 = +1 = 3.
Suma y resta de polinomios
⚠ Un menos delante de un paréntesis cambia el signo de todo lo de dentro. Es el fallo más repetido del tema.
3Opera: (3x2 + 2x − 1) + (x2 − 5x + 4).
Ver solución
Se suman los términos semejantes, los que tienen la misma x con el mismo exponente: 3x2 + x2 = 4x2; 2x − 5x = −3x; −1 + 4 = 3.
El resultado es 4x2 − 3x + 3.
4Opera: (x3 − 2x) − (x3 + 4x − 7).
Ver solución
⚠ El menos delante del paréntesis cambia el signo de todo lo de dentro: −x3 − 4x + 7. Ese es el fallo que más se repite.
Luego: x3 − x3 = 0; −2x − 4x = −6x; queda +7.
El resultado es −6x + 7.
Multiplicación de polinomios
5Multiplica: (x + 3)(x − 2).
Ver solución
Se multiplica cada término del primero por cada uno del segundo: x·x = x2; x·(−2) = −2x; 3·x = 3x; 3·(−2) = −6.
Y se juntan los semejantes: −2x + 3x = x.
El resultado es x2 + x − 6.
6Multiplica: (x + 5)2.
Ver solución
⚠ No es x2 + 25: el cuadrado de una suma lleva el doble producto. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, con a = x y b = 5.
El resultado es x2 + 10x + 25.
División de polinomios
⚠ Si falta un grado hay que escribirlo con un 0 o las columnas se descolocan. Al final se comprueba: dividendo = divisor · cociente + resto.
7Divide: x2 + 5x + 6 entre x + 2.
Ver solución
Se divide el primer término entre el primero: x2 : x = x. Se multiplica x por (x + 2) y se resta.
Queda 3x + 6, y 3x : x = 3. Se multiplica 3 por (x + 2) y se resta: 0.
El cociente es x + 3 y el resto 0.
Comprobación: dividendo = divisor · cociente + resto.
8Divide: x3 − 2x2 + 3x − 4 entre x − 1.
Ver solución
Paso a paso: x3 : x = x2; resta y baja. Luego −x2 : x = −x; resta y baja. Luego 2x : x = 2.
Sobra −2, que es el resto.
El cociente es x2 − x + 2 y el resto −2.
Comprobación: dividendo = divisor · cociente + resto.
9Divide: x3 + 1 entre x + 1.
Ver solución
⚠ Faltan términos: hay que escribir x3 + 0x2 + 0x + 1 para no descolocar las columnas. Ese es el fallo típico de la división de polinomios.
El cociente es x2 − x + 1 y el resto 0.
Comprobación: dividendo = divisor · cociente + resto.
Factorización de polinomios
10Factoriza: x2 − 9.
Ver solución
Es una diferencia de cuadrados: a2 − b2 = (a − b)(a + b).
Queda (x − 3)(x + 3).
11Factoriza: 3x2 − 12x.
Ver solución
Lo primero es siempre buscar factor común: aquí 3x está en los dos.
Queda 3x(x − 4).
12Factoriza: x3 − x.
Ver solución
Primero factor común: x(x2 − 1).
Y lo de dentro es una diferencia de cuadrados. ⚠ Factorizar es seguir hasta que no se pueda más.
Queda x(x − 1)(x + 1).
Raíces de un polinomio
13Halla las raíces de P(x) = x2 − 7x + 12.
Ver solución
Las raíces son los valores que anulan el polinomio, así que se iguala a cero y se resuelve.
x2 − 7x + 12 = 0 da x = 3 y x = 4.
Las raíces son 3, 4.
14Halla las raíces de P(x) = x3 − 4x.
Ver solución
Se saca factor común: x(x2 − 4) = 0.
Un producto se anula si se anula un factor: x = 0, y luego x = 2 y x = −2. Son tres.
Las raíces son 0, 2, −2.
15Halla las raíces de P(x) = x2 + 4.
Ver solución
Se iguala a cero: x2 = −4.
⛔ Ningún número real al cuadrado da negativo: este polinomio no tiene raíces reales. Y por eso tampoco se puede factorizar con números reales.
Descargar ejercicios de polinomios de matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de polinomios de matemáticas resueltos paso a paso, de 3.º de ESO a Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Polinomios en 3.º de ESO
En 3.º se empieza por el valor numérico y las operaciones: sumar, restar y multiplicar. La división y la factorización llegan después.
Y el cuadernillo completo de 3.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 3.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Polinomios en 4.º de ESO
En 4.º entran la división y la factorización, que es la que de verdad se usa luego para resolver ecuaciones y simplificar fracciones algebraicas.
Y el cuadernillo completo de 4.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Polinomios en 1.º de Bachillerato
En Bachillerato el polinomio deja de ser el tema y pasa a ser herramienta: se factoriza para hallar límites, para integrar funciones racionales y para estudiar el signo de una función.
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
1.º de Bachillerato en PDF 1.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.