Integrales: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de integrales resueltos paso a paso: inmediatas, polinomios, cambio de variable e integral definida con la regla de Barrow.
Cada uno con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
Integrar es deshacer una derivada
Lo que hay que saber
Una primitiva de f es una función cuya derivada es f. Por eso la comprobación de cualquier integral es siempre la misma y no falla nunca: deriva el resultado y tienes que volver al integrando.
Como la derivada de una constante es 0, hay infinitas primitivas que se diferencian en una constante: de ahí el + C, que no es un adorno.
La regla que resuelve casi todas es la de la potencia: se sube uno el exponente y se divide por el nuevo. ⚠ Con una excepción: 1/x, que no se puede subir a 0 y dividir entre 0; su primitiva es ln|x|.
En la integral definida el resultado ya no es una función sino un número: se busca una primitiva y se resta su valor entre los dos extremos.
Integrales inmediatas
⚠ El segundo es la excepción de la regla de la potencia y el tercero lleva el signo cambiado: son los dos que más se fallan.
1Calcula ∫ x3 dx.
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La regla de la potencia: se sube uno el exponente y se divide por el nuevo exponente.
Resultado: x4/4 + C.
⚠ Comprobación que vale siempre: si se deriva x4/4 se vuelve al integrando.
2Calcula ∫ 1/x dx.
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⚠ Esta es la excepción de la regla de la potencia: con exponente −1 no se puede subir a 0 y dividir entre 0. Su primitiva es el logaritmo.
Resultado: ln|x| + C.
⚠ Comprobación que vale siempre: si se deriva ln|x| se vuelve al integrando.
3Calcula ∫ sen x dx.
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⚠ Con el signo cambiado: la derivada del coseno es MENOS seno, así que la primitiva del seno es MENOS coseno.
Resultado: −cos x + C.
⚠ Comprobación que vale siempre: si se deriva −cos x se vuelve al integrando.
Integrar un polinomio
4Calcula ∫ (3x2 + 2x) dx.
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Se integra término a término: cada uno con la regla de la potencia.
Resultado: x3 + x2 + C.
5Calcula ∫ (x2 − 1)2 dx.
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⛔ Primero se desarrolla el cuadrado: x4 − 2x2 + 1. No hay ninguna regla para integrar un producto tal cual.
Resultado: x5/5 − 2x3/3 + x + C.
Cambio de variable
6Calcula ∫ 2x · (x2 + 1)3 dx.
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Se ve que 2x es la derivada de x2 + 1: con u = x² + 1 queda ∫ u³ du.
Resultado: (x2 + 1)4/4 + C.
7Calcula ∫ cos x · sen2 x dx.
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El coseno es la derivada del seno: con u = sen x queda ∫ u² du.
Resultado: sen3 x / 3 + C.
Integral definida: regla de Barrow
8Calcula ∫ de 0 a 2 de x2 dx.
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Una primitiva es x3/3.
F(2) − F(0) = 8/3.
9Calcula ∫ de 0 a 1 de (3x2 + 1) dx.
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Una primitiva es x3 + x.
F(1) − F(0) = 2.
Descargar ejercicios de Integrales Matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de integrales de matemáticas resueltos paso a paso, de 2.º de Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Integrales en 2.º de Bachillerato
2.º es el curso del tema, y es materia de selectividad todos los años: inmediatas, cambio de variable, por partes, racionales y el cálculo de áreas con la integral definida.
⚠ En Ciencias Sociales el temario es más corto: inmediatas, polinomios y áreas, sin las racionales ni las trigonométricas.
Y el cuadernillo completo de 2.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
2.º de Bachillerato en PDF 2.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Antes de las integrales: las derivadas en 1.º
No se puede integrar sin derivar bien: cada integral inmediata es una derivada leída al revés. Si fallan las derivadas, fallan las integrales.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.