Optimización: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de optimización resueltos paso a paso: el método (derivar, igualar a cero y comprobar), problemas de geometría y problemas de coste y beneficio.
Cada uno con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
Los tres pasos, y el que todo el mundo se salta
Lo que hay que saber
1. Escribir la función que hay que hacer máxima o mínima, con una sola variable. En los problemas con enunciado, aquí se juega el ejercicio: se usa el dato que relaciona las variables (un perímetro, un área, un total) para despejar una en función de la otra.
2. Derivar e igualar a cero: eso da los puntos críticos.
⛔ 3. Comprobar, y es el paso que se salta todo el mundo. Dos cosas: que cada punto crítico sea de verdad el extremo que se busca (segunda derivada, o el signo de la primera a los lados), porque en un punto de inflexión la derivada también se anula y no hay ni máximo ni mínimo; y, si el problema pide el extremo en un intervalo cerrado, calcular f también en los dos bordes, que son candidatos aunque allí la derivada no se anule. Se comparan todos los valores y gana el mayor (o el menor).
⚠ Y al final, mirar que la solución tenga sentido: una longitud no puede ser negativa, ni se fabrican −3 unidades.
El método: derivar, igualar a cero y comprobar
⚠ Los dos últimos son la MISMA función en el MISMO intervalo, y uno pide el mínimo y el otro el máximo. El mínimo está donde la derivada se anula; el máximo, en un borde, donde no se anula. Por eso no basta con derivar.
1Halla el mínimo de f(x) = x2 − 6x + 5.
Ver solución
f′(x) = 2x − 6. Se iguala a 0: 2x − 6 = 0, así que x = 3.
f″(x) = 2 > 0, así que es un mínimo.
El mínimo vale −4, en x = 3.
2Halla el mínimo de f(x) = x3 − 3x en el intervalo [0, 5].
Ver solución
f′(x) = 3x2 − 3 = 0, así que x = 1 o x = −1. En el intervalo pedido, x = 1.
f″(x) = 6x, y f″(1) = 6 > 0: mínimo local.
Es un intervalo cerrado, así que se compara con los bordes: f(0) = 0, f(1) = −2 y f(5) = 110.
El mínimo vale −2, en x = 1.
3Halla el máximo de f(x) = x3 − 3x en el intervalo [0, 5].
Ver solución
f′(x) = 3x2 − 3 = 0 da x = 1 (x = −1 queda fuera del intervalo).
f″(1) = 6 > 0: x = 1 es un mínimo, no un máximo. Así que el máximo no está en ningún punto crítico.
⛔ Entonces está en un borde: f(0) = 0 y f(5) = 125 − 15 = 110.
El máximo vale 110, en x = 5, y ahí la derivada NO se anula: f′(5) = 72.
Problemas de geometría
⚠ En los dos sale un cuadrado, y no es casualidad: entre todos los rectángulos de igual perímetro, el de mayor área es el cuadrado; y entre los de igual área, el de menor perímetro también.
4Con 40 m de valla se quiere cerrar un huerto rectangular. ¿Qué medidas dan el área máxima?
Ver solución
Si un lado mide x, el otro mide (40 − 2x) : 2 = 20 − x, porque el perímetro es 40.
El área es A(x) = x · (20 − x) = 20x − x2. A′(x) = 20 − 2x = 0 → x = 10.
Sale un cuadrado de 10 × 10 m, con 100 m2. ⚠ Entre todos los rectángulos de igual perímetro, el de mayor área es siempre el cuadrado.
5De todos los rectángulos de 64 cm2 de área, ¿cuál tiene el perímetro mínimo?
Ver solución
Si un lado es x, el otro es 64/x para que el área sea 64.
P(x) = 2(x + 64/x). P′(x) = 2(1 − 64/x2) = 0 → x2 = 64 → x = 8.
El cuadrado de 8 × 8 cm, con 32 cm de perímetro. ⚠ Aquí el dominio importa: x tiene que ser positivo, así que x = −8 se descarta.
Problemas de coste y beneficio
6El beneficio de una empresa, en miles de euros, es B(x) = −x2 + 20x − 50, donde x son las unidades fabricadas (en miles). ¿Cuántas conviene fabricar?
Ver solución
B′(x) = −2x + 20 = 0, así que x = 10.
B″(x) = −2 < 0: es un máximo. El beneficio máximo es B(10) = 50, es decir, 50 000 €.
7El coste de producir x artículos es C(x) = x2 − 40x + 500. ¿Cuántos hay que producir para que el coste sea mínimo?
Ver solución
C′(x) = 2x − 40 = 0, así que x = 20.
C″(x) = 2 > 0: es un mínimo, y vale C(20) = 100.
Descargar ejercicios de Optimización Matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de optimización de matemáticas resueltos paso a paso, de 2.º de Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Optimización en 2.º de Bachillerato
Es una de las aplicaciones de la derivada que más cae en selectividad, casi siempre con un problema de enunciado: una valla, una lata, un beneficio.
⚠ En Ciencias Sociales los problemas son de coste, ingreso y beneficio; en Ciencias, más geométricos.
Y el cuadernillo completo de 2.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
2.º de Bachillerato en PDF 2.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Lo que hace falta de 1.º
Hay que tener sólidas las derivadas —sobre todo la del cociente y la de la raíz— y saber estudiar el crecimiento de una función.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.