Distribución binomial: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de distribución binomial resueltos paso a paso: probabilidad de un número exacto de éxitos, «al menos» y «como mucho», y la media y la varianza.
Cada uno con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
Cuándo es binomial y cómo se calcula
Lo que hay que saber
Hay binomial cuando se repite n veces el mismo experimento, siempre con la misma probabilidad de éxito p, y las repeticiones son independientes. Se escribe B(n, p). ⚠ Comprobar esas tres condiciones es parte del ejercicio.
La fórmula: P(X = k) = C(n, k) · pk · qn−k, con q = 1 − p. El número combinatorio C(n, k) cuenta de cuántas formas pueden repartirse los k éxitos entre las n repeticiones.
⛔ «Al menos uno» casi nunca se suma: se calcula por el contrario, 1 − P(X = 0). Es donde más tiempo se pierde en un examen.
Y dos fórmulas cortas que salen mucho: μ = n · p y σ2 = n · p · q.
Probabilidad de un número exacto de éxitos
1Se lanza una moneda 5 veces. Calcula la probabilidad de que salgan exactamente 3 caras.
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Es una binomial: se repite 5 veces el mismo experimento, cada vez con la misma probabilidad de éxito p = 0,5, y las repeticiones son independientes. B(5, 0,5).
P(X = 3) = C(5, 3) · (0,5)3 · (0,5)2 = 10 · 0,03125 = 0,3125 ≈ 31,25 %.
2Se lanza un dado 4 veces. Calcula la probabilidad de que salgan exactamente dos seises.
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Es una binomial: se repite 4 veces el mismo experimento, cada vez con la misma probabilidad de éxito p = 1/6, y las repeticiones son independientes. B(4, 1/6).
P(X = 2) = C(4, 2) · (1/6)2 · (5/6)2 = 6 · 25/1296 = 25/216 ≈ 0,1157 ≈ 11,57 %.
3Un test tiene 3 preguntas con 4 opciones y se responde al azar. Calcula la probabilidad de que se acierte exactamente una.
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Es una binomial: se repite 3 veces el mismo experimento, cada vez con la misma probabilidad de éxito p = 0,25, y las repeticiones son independientes. B(3, 0,25).
P(X = 1) = C(3, 1) · (0,25)1 · (0,75)2 = 3 · 0,140625 = 0,421875 ≈ 42,19 %.
«Al menos» y «como mucho»
⛔ Compara los dos primeros con el tercero: «al menos» se hace por el contrario y «como mucho» se suma. Confundirlos cuesta el ejercicio entero.
4Se lanza una moneda 5 veces. Calcula la probabilidad de que salga al menos una cara.
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La distribución es B(5, 0,5).
⛔ «Al menos uno» es el contrario de «ninguno», y eso ahorra sumar: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,03125 = 0,96875.
≈ 96,88 %.
5Se lanza un dado 4 veces. Calcula la probabilidad de que salga al menos un seis.
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La distribución es B(4, 1/6).
⛔ «Al menos uno» es el contrario de «ninguno», y eso ahorra sumar: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 625/1296 = 671/1296 ≈ 0,5177.
≈ 51,77 %.
6Se lanza una moneda 4 veces. Calcula la probabilidad de que salga como mucho una cara.
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La distribución es B(4, 0,5).
«Como mucho uno» es P(X = 0) + P(X = 1) = 0,0625 + 0,25 = 0,3125.
≈ 31,25 %.
Media y varianza de una binomial
7Se lanza una moneda 20 veces. Halla la media y la varianza del número de éxitos.
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μ = 20 · 0,5 = 10.
σ2 = 20 · 0,5 · 0,5 = 5.
8Un jugador encesta el 30 % de sus tiros y lanza 10 veces. Halla la media y la varianza del número de éxitos.
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μ = 10 · 0,3 = 3.
σ2 = 10 · 0,3 · 0,7 = 2,1.
Descargar ejercicios de Distribución Binomial Matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de distribución binomial de matemáticas resueltos paso a paso, de 4.º de ESO y Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Distribución binomial en 4.º de ESO
En 4.º todavía no se llama binomial, pero ya se hacen sus problemas con diagramas de árbol: lanzar una moneda tres veces y contar caminos es exactamente lo mismo.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Distribución binomial en 1.º de Bachillerato
1.º es el curso del tema: la fórmula, las tablas y la aproximación por la normal cuando n es grande.
⚠ La aproximación normal tiene su propia entrada; aquí se trabaja la binomial exacta.
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
1.º de Bachillerato en PDF 1.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Y después: inferencia
En 2.º, sobre todo en Ciencias Sociales, la binomial es la base del muestreo y de los intervalos de confianza para una proporción.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.