Distribución normal: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de distribución normal resueltos paso a paso: leer la tabla de N(0,1), tipificar, calcular entre dos valores y problemas.
Cada uno trae la solución desplegable con la z y la lectura de la tabla, y el PDF con todos para imprimir.
⚠ La distribución binomial, los intervalos de confianza y el contraste de hipótesis tienen su propia página.
La distribución normal y cómo se usa la tabla
Lo que hay que saber
La normal N(μ, σ) es la campana: simétrica respecto de la media μ, y con la σ diciendo lo abierta que es. El 68 % de los datos cae a menos de una σ de la media y el 95 % a menos de dos.
La tabla solo existe para la normal estándar N(0, 1), así que lo primero es siempre tipificar: z = (x − μ) / σ.
⚠ La tabla da «menor o igual» y solo trae valores positivos. Para lo demás: P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a) y P(Z > a) = 1 − P(Z ≤ a).
Leer la tabla de la distribución normal N(0,1)
⚠ Solo trae positivos y da siempre «menor o igual».
1Calcula P(Z ≤ 1,25) en una normal estándar N(0, 1).
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Se busca 1,2 en la columna de la izquierda y 0,05 en la fila de arriba.
La tabla da directamente 0,8944.
2Calcula P(Z ≤ −0,5) en una normal estándar N(0, 1).
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⚠ La tabla solo trae valores positivos. Se usa la simetría: P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a).
P(Z ≤ 0,5) = 0,6915, así que P(Z ≤ −0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085.
3Calcula P(−1 ≤ Z ≤ 1) en una normal estándar N(0, 1).
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Se resta: P(Z ≤ 1) − P(Z ≤ −1).
0,8413 − 0,1587 = 0,6827.
Este es el famoso 68 %: dos de cada tres datos caen a menos de una desviación típica de la media.
Tipificar: pasar de N(μ, σ) a N(0,1)
4En una N(170, 10), calcula la probabilidad de que X sea menor o igual que 180.
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La tabla solo sirve para N(0, 1), así que lo primero es tipificar.
Se tipifica: z = (x − μ) / σ = (180 − 170) / 10 = 1.
P(X ≤ 180) = P(Z ≤ 1) = 0,8413.
5En una N(20, 4), calcula la probabilidad de que X sea menor o igual que 14.
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La tabla solo sirve para N(0, 1), así que lo primero es tipificar.
z = (14 − 20) / 4 = −1,5. ⚠ La z sale negativa porque 14 está por debajo de la media.
P(X ≤ 14) = P(Z ≤ −1,5) = 1 − 0,9332 = 0,0668.
Probabilidad entre dos valores
6En una N(170, 10), calcula la probabilidad de que X esté entre 160 y 180.
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Se tipifican los dos extremos: z1 = (160 − 170)/10 = −1 y z2 = (180 − 170)/10 = 1.
P = P(Z ≤ 1) − P(Z ≤ −1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6827.
7En una N(0, 1), calcula la probabilidad de que X esté entre −1,96 y 1,96.
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Ya está tipificada.
P = 0,9750 − 0,0250 = 0,95.
⚠ El 1,96 no es casualidad: es el valor que deja el 95 % en el centro, y por eso aparece en todos los intervalos de confianza.
Problemas con la distribución normal
8Las notas de un examen siguen una N(6, 1,5). ¿Qué porcentaje de alumnos saca más de un 8?
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Se tipifica: z = (8 − 6) / 1,5 = 1,3333…, que en la tabla se busca como 1,33.
P(X > 8) = 1 − P(Z ≤ 1,33) = 1 − 0,9082 = 0,0918.
O sea, alrededor del 9 % de los alumnos.
⚠ La tabla trabaja con dos decimales, así que la z se redondea antes de buscarla. Con el valor sin redondear saldría 0,0912: la diferencia es el redondeo de la tabla, no un error.
9En una fábrica las piezas pesan N(500, 20) gramos. Se rechazan las que pesan menos de 470 g o más de 530 g. ¿Qué porcentaje se rechaza?
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Las dos z: (470 − 500)/20 = −1,5 y (530 − 500)/20 = 1,5.
Lo que se ACEPTA está entre las dos: P(−1,5 ≤ Z ≤ 1,5) = 0,9332 − 0,0668 = 0,8664.
Lo que se rechaza es el resto: 1 − 0,8664 = 0,1336, un 13,4 %.
⚠ Es más corto calcular lo de en medio y restar que sumar las dos colas por separado.
Descargar ejercicios de distribución normal en PDF
Todos los ejercicios de distribución normal de matemáticas resueltos paso a paso, de 1.º y 2.º de Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
La normal en 1.º de Bachillerato
En 1.º se aprende a tipificar y a leer la tabla, y se ve que muchas medidas reales (alturas, pesos, notas) se reparten en forma de campana.
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
1.º de Bachillerato en PDF 1.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
La normal en 2.º de Bachillerato
En 2.º la normal es la base de la inferencia: los intervalos de confianza y el contraste de hipótesis salen de ella, y de ahí vienen el 1,96 y el 2,576.
Y el cuadernillo completo de 2.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.