Geometría: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de geometría resueltos paso a paso: ángulos, polígonos, cuerpos geométricos y volumen, y coordenadas en el plano.
⚠ Lo que tiene entrada propia no se repite aquí: áreas y perímetros, el teorema de Pitágoras, el teorema de Tales, los vectores y la trigonometría tienen la suya, enlazada en cada apartado.
Cada ejercicio con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
Las cuatro cosas que hay que tener a mano
Lo que hay que saber
Ángulos: complementarios suman 90°, suplementarios suman 180°, y los tres de cualquier triángulo suman siempre 180°.
Polígonos: la suma de los ángulos interiores de uno de n lados es (n − 2) · 180°, y tiene n(n − 3)/2 diagonales.
Cuerpos: el volumen va en cm3, y en cualquier poliedro se cumple la fórmula de Euler, caras + vértices − aristas = 2, que sirve para comprobar un recuento sin hacer ninguna cuenta más.
Coordenadas: la distancia entre dos puntos es Pitágoras aplicado a las diferencias de coordenadas, y el punto medio es la media de cada coordenada.
Ángulos: complementarios, suplementarios y los del triángulo
1Halla el ángulo complementario de 35°.
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Suman 90°, así que 90 − 35 = 55°.
2Halla el ángulo suplementario de 110°.
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Suman 180°, así que 180 − 110 = 70°.
3Dos ángulos de un triángulo miden 50° y 60°. ¿Cuánto mide el tercero?
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180 − 50 − 60 = 70°.
4Dos ángulos de un triángulo miden 90° y 35°. ¿Cuánto mide el tercero?
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180 − 90 − 35 = 55°.
Polígonos: ángulos y diagonales
5En un pentágono regular, halla la suma de sus ángulos interiores, cuánto mide cada uno y cuántas diagonales tiene.
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La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es (n − 2) · 180°: (5 − 2) · 180 = 540°.
Como es regular, todos son iguales: 540 : 5 = 108°.
Diagonales: n(n − 3)/2 = 5 · 2 : 2 = 5.
6En un hexágono regular, halla la suma de sus ángulos interiores, cuánto mide cada uno y cuántas diagonales tiene.
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La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es (n − 2) · 180°: (6 − 2) · 180 = 720°.
Como es regular, todos son iguales: 720 : 6 = 120°.
Diagonales: n(n − 3)/2 = 6 · 3 : 2 = 9.
7En un dodecágono regular, halla la suma de sus ángulos interiores, cuánto mide cada uno y cuántas diagonales tiene.
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La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es (n − 2) · 180°: (12 − 2) · 180 = 1800°.
Como es regular, todos son iguales: 1800 : 12 = 150°.
Diagonales: n(n − 3)/2 = 12 · 9 : 2 = 54.
Cuerpos geométricos y volumen
8Halla el volumen de un cubo de 4 cm de arista y comprueba la fórmula de Euler.
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V = arista3 = 43 = 64 cm3.
Caras: 6. Vértices: 8. Aristas: 12.
Euler: C + V − A = 6 + 8 − 12 = 2. ✓
9Halla el volumen de una pirámide de base cuadrada de 6 cm de lado y 4 cm de altura y comprueba la fórmula de Euler.
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V = (área de la base · altura) : 3 = (62 · 4) : 3 = 48 cm3.
Caras: 5. Vértices: 5. Aristas: 8.
Euler: C + V − A = 5 + 5 − 8 = 2. ✓
10Halla el volumen de un cilindro de 3 cm de radio y 10 cm de altura.
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V = π · r2 · altura = π · 32 · 10 = 90π cm3.
⛔ Se escribe con ≈ al dar el decimal: ≈ 282,74 cm3, porque π no es 3,14 exactamente.
Coordenadas: distancia y punto medio
⚠ Fíjate en el último: los dos puntos tienen la misma x, así que el segmento es vertical y la distancia sale sin raíz.
11Dados A(1, 2) y B(4, 6), halla la distancia AB y el punto medio.
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La distancia sale del teorema de Pitágoras sobre las diferencias de coordenadas: d = √((4 − 1)2 + (6 − 2)2) = √(9 + 16) = √25.
d = 5.
El punto medio es la media de cada coordenada: M((1 + 4)/2, (2 + 6)/2) = M(5/2, 4).
12Dados A(−2, 1) y B(2, 4), halla la distancia AB y el punto medio.
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La distancia sale del teorema de Pitágoras sobre las diferencias de coordenadas: d = √((2 − −2)2 + (4 − 1)2) = √(16 + 9) = √25.
d = 5.
El punto medio es la media de cada coordenada: M((−2 + 2)/2, (1 + 4)/2) = M(0, 5/2).
13Dados A(3, −1) y B(3, 5), halla la distancia AB y el punto medio.
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La distancia sale del teorema de Pitágoras sobre las diferencias de coordenadas: d = √((3 − 3)2 + (5 − −1)2) = √(0 + 36) = √36.
d = 6.
El punto medio es la media de cada coordenada: M((3 + 3)/2, (−1 + 5)/2) = M(3, 2).
Descargar ejercicios de Geometría Matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de geometría de matemáticas resueltos paso a paso, de 4.º de Primaria a 2.º de ESO, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Geometría en 4.º de Primaria
En 4.º se miden y clasifican ángulos y se reconocen los polígonos por su número de lados.
Y el cuadernillo completo de 4.º de Primaria, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de Primaria están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Geometría en 5.º de Primaria
En 5.º llegan los ángulos complementarios y suplementarios y la suma de los ángulos del triángulo.
Y el cuadernillo completo de 5.º de Primaria, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 5.º de Primaria están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Geometría en 6.º de Primaria
En 6.º entran los cuerpos geométricos y el volumen.
Y el cuadernillo completo de 6.º de Primaria, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 6.º de Primaria están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Geometría en 1.º de ESO
En 1.º se formaliza todo lo anterior y aparecen las coordenadas en el plano.
Y el cuadernillo completo de 1.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Geometría en 2.º de ESO
En 2.º se trabajan los cuerpos geométricos con sus áreas y volúmenes, y entra el teorema de Pitágoras, que tiene su propia entrada.
Y el cuadernillo completo de 2.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.