Integración por partes: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de integración por partes resueltos paso a paso: polinomio por exponencial, polinomio por seno o coseno, logaritmos y las cíclicas, en las que la integral vuelve a aparecer.
Cada uno con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
La fórmula, y cómo elegir u
Lo que hay que saber
∫u dv = u · v − ∫v du. La fórmula es corta; lo que decide el ejercicio es elegir bien u: tiene que ser la parte que al derivarla se simplifique.
La regla práctica se llama ALPES (o ILATE): Arcos, Logaritmos, Polinómicas, Exponenciales, Senos y cosenos. Lo que aparezca antes en esa lista es u.
⛔ Por eso en ∫ x · ln x dx la u es el logaritmo, aunque el polinomio parezca más fácil: su derivada, 1/x, es lo que simplifica la integral. Elegir al revés la complica.
⚠ Y en ∫ ln x dx, que parece que no tiene dos factores, se toma dv = dx. Es el truco que hay que ver una vez para no olvidarlo.
Polinomio por exponencial
⚠ El segundo lleva x², así que hay que aplicar partes dos veces.
1Calcula ∫ x · ex dx.
Ver solución
Se elige u = x y dv = ex dx.
u = x (su derivada es 1, más sencilla) y dv = ex dx. Entonces du = dx y v = ex.
Resultado: x · ex − ex + C.
2Calcula ∫ x2 · ex dx.
Ver solución
Se elige u = x2 y dv = ex dx.
⚠ Aquí hay que aplicar partes DOS veces: al hacerlo una vez queda ∫ 2x·ex dx, que es el ejercicio anterior.
Resultado: x2ex − 2xex + 2ex + C.
Polinomio por seno o coseno
3Calcula ∫ x · sen x dx.
Ver solución
Se elige u = x y dv = sen x dx.
u = x y dv = sen x dx, así que du = dx y v = −cos x.
Resultado: −x · cos x + sen x + C.
4Calcula ∫ x · cos x dx.
Ver solución
Se elige u = x y dv = cos x dx.
u = x y dv = cos x dx, así que v = sen x.
Resultado: x · sen x + cos x + C.
Integrales con logaritmos
⛔ Los dos casos que más se fallan del tema: el logaritmo solo (dv = dx) y el logaritmo multiplicado por un polinomio (u es el logaritmo, no el polinomio).
5Calcula ∫ ln x dx.
Ver solución
Se elige u = ln x y dv = dx.
⚠ Parece que no hay dos factores, pero sí: se toma dv = dx, así que v = x. Y u = ln x, cuya derivada (1/x) es mucho más sencilla.
Resultado: x · ln x − x + C.
6Calcula ∫ x · ln x dx.
Ver solución
Se elige u = ln x y dv = x dx.
⛔ Aquí u es el logaritmo, aunque el polinomio parezca «más fácil»: lo que manda es que la derivada de u se simplifique, y la de ln x es 1/x.
Resultado: x2/2 · ln x − x2/4 + C.
Cíclicas: cuando la integral vuelve a aparecer
7Calcula ∫ ex · sen x dx.
Ver solución
Se elige u = ex y dv = sen x dx.
⚠ Al aplicar partes DOS veces vuelve a salir la integral de partida. Eso no es un callejón sin salida: se le llama I, queda I = (algo) − I, y se despeja: 2I = (algo), así que I = (algo)/2.
Resultado: ex(sen x − cos x)/2 + C.
8Calcula ∫ ex · cos x dx.
Ver solución
Se elige u = ex y dv = cos x dx.
El mismo truco: se aplica partes dos veces, reaparece la integral y se despeja.
Resultado: ex(sen x + cos x)/2 + C.
Descargar ejercicios de Integración por Partes Matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de integración por partes de matemáticas resueltos paso a paso, de 2.º de Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Integración por partes en 2.º de Bachillerato
Es uno de los métodos de integración de 2.º y cae en selectividad todos los años, solo o combinado con un cambio de variable.
⚠ En Ciencias Sociales se usa sobre todo con polinomio por exponencial y con logaritmos; las cíclicas son más de la modalidad de Ciencias.
Y el cuadernillo completo de 2.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
2.º de Bachillerato en PDF 2.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Lo que hace falta de 1.º
Hay que tener muy sólidas las derivadas —sobre todo la del producto, que es de donde sale la fórmula— y las integrales inmediatas.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.