Vectores: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de vectores resueltos paso a paso: coordenadas y punto medio, módulo, producto escalar, vectores perpendiculares, ángulo entre dos vectores y ecuación de la recta.
Cada uno con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
Lo que hay que tener claro antes de empezar
Lo que hay que saber
Un vector se da por sus coordenadas, y el vector que va de A a B es B − A: el extremo menos el origen. De ahí sale todo lo demás.
El módulo es su longitud y sale del teorema de Pitágoras. El producto escalar es un número, no un vector, y contesta dos preguntas a la vez: si vale 0 los vectores son perpendiculares, y con los módulos da el ángulo.
⚠ Para la recta hay que distinguir dos vectores que se confunden: el director dice hacia dónde va la recta, y la normal es perpendicular a ella y es la que aparece en la ecuación ax + by = k.
Coordenadas de un vector, suma y punto medio
1Dados los puntos A(1, 2) y B(4, 6), halla el vector AB y el punto medio del segmento AB.
Ver solución
Las coordenadas del vector AB son las del extremo menos las del origen: AB = B − A = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4).
El punto medio es la media de las coordenadas: M = ((1 + 4)/2, (2 + 6)/2) = (2,5, 4).
2Dados los puntos A(−2, 3) y B(5, −1), halla el vector AB y el punto medio del segmento AB.
Ver solución
Las coordenadas del vector AB son las del extremo menos las del origen: AB = B − A = (5 − (−2), (−1) − 3) = (7, −4).
El punto medio es la media de las coordenadas: M = (((−2) + 5)/2, (3 + (−1))/2) = (1,5, 1).
3Si u = (3, 1) y v = (2, 4), calcula u + v.
Ver solución
u + v = (3 + 2, 1 + 4) = (5, 5).
4Si u = (2, 6) y v = (4, 2), calcula 2u − v.
Ver solución
2u − v = (2·2 − 4, 2·6 − 2) = (0, 10).
Módulo de un vector
⚠ Casi nunca da un número entero: se deja la raíz simplificada y, si hace falta, su valor aproximado.
5Calcula el módulo del vector v = (3, 4).
Ver solución
|v| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
6Calcula el módulo del vector v = (2, 3).
Ver solución
|v| = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13 ≈ 3,61.
Producto escalar, vectores perpendiculares y ángulo
7Calcula el producto escalar de u = (3, 2) y v = (1, 4).
Ver solución
u · v = 3·1 + 2·4 = 3 + 8 = 11.
8Calcula el producto escalar de u = (6, 0) y v = (0, 7).
Ver solución
u · v = 6·0 + 0·7 = 0 + 0 = 0. Como da 0, los dos vectores son perpendiculares.
9Comprueba si u = (2, 3) y v = (3, −2) son perpendiculares.
Ver solución
u · v = 2·3 + 3·(−2) = 0. Como es 0, sí lo son.
10Halla el ángulo que forman u = (1, 0) y v = (1, 1).
Ver solución
u · v = 1, |u| = 1 y |v| = √2, así que cos α = √2/2.
El ángulo es 45°.
Vector director y ecuación de la recta
11Halla la ecuación de la recta que pasa por P(1, 2) y tiene como vector director d = (3, 1).
Ver solución
Un vector perpendicular al director sirve de normal: si d = (3, 1), una normal es (−1, 3) (se cambian de sitio y uno cambia de signo).
La recta es entonces −x + 3y = k, y la k sale obligando a que pase por P: −1 + 3·2 = 5.
Ecuación: −x + 3y = 5.
12Halla la ecuación de la recta que pasa por P(−2, 3) y tiene como vector director d = (1, −4).
Ver solución
Un vector perpendicular al director sirve de normal: si d = (1, −4), una normal es (4, 1) (se cambian de sitio y uno cambia de signo).
La recta es entonces 4x + y = k, y la k sale obligando a que pase por P: 4·(−2) + 3 = −5.
Ecuación: 4x + y = −5.
Descargar ejercicios de Vectores Matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de vectores de matemáticas resueltos paso a paso, de 4.º de ESO a 2.º de Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Vectores en 4.º de ESO
En 4.º los vectores aparecen dentro de la geometría analítica: coordenadas, distancia entre dos puntos, punto medio y la ecuación de la recta. Todavía sin producto escalar.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Vectores en 1.º de Bachillerato
1.º es el curso del tema: producto escalar, módulo, ángulo entre vectores y las distintas formas de la ecuación de la recta (vectorial, paramétrica, continua, general).
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Vectores en 2.º de Bachillerato
En 2.º todo esto se traslada al espacio: tres coordenadas, producto vectorial, rectas y planos. Lo del plano sigue siendo la base, y por eso conviene tenerlo sólido.
Y el cuadernillo completo de 2.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.