Derivadas: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de derivadas de matemáticas resueltos paso a paso, ordenados por el tipo que toca: las simples, la regla del producto, la del cociente, la regla de la cadena, las exponenciales y logarítmicas, las trigonométricas, la definición y las aplicaciones (recta tangente, máximos y mínimos).
Cada uno trae la solución desplegable con todos los pasos, no solo el resultado. Antes de empezar está la tabla de derivadas, que es lo que se busca a mitad de un problema, y el PDF con todos los ejercicios resueltos para imprimir.
Tabla de derivadas
Las derivadas inmediatas y las reglas, en una tabla. Debajo, en los ejercicios, se usan todas.
| Función | Derivada |
|---|---|
| k (una constante) | 0 |
| x | 1 |
| xn | n · xn−1 |
| √x | 1 / (2√x) |
| ex | ex |
| ax | ax · ln a |
| ln x | 1 / x |
| loga x | 1 / (x · ln a) |
| sen x | cos x |
| cos x | −sen x |
| tg x | 1 / cos2 x |
| arc sen x | 1 / √(1 − x2) |
| arc cos x | −1 / √(1 − x2) |
| arc tg x | 1 / (1 + x2) |
| Suma: f + g | f′ + g′ |
| Producto: f · g | f′ · g + f · g′ |
| Cociente: f / g | (f′ · g − f · g′) / g2 |
| Cadena: f(g(x)) | f′(g(x)) · g′(x) |
Reglas de derivación
Lo que hay que saber
La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto: dice cómo de deprisa crece o decrece la función ahí.
Con la tabla de arriba y cuatro reglas —suma, producto, cociente y cadena— se derivan casi todas las funciones de Bachillerato. Lo que más se falla no son las fórmulas: es no ver qué regla toca.
Truco para elegir: si hay un por, producto; si hay una raya de dividir, cociente; y si hay una función dentro de otra —un paréntesis elevado, un seno de algo, un logaritmo de algo—, regla de la cadena. ⚠ En la cadena, el fallo más repetido es olvidar la derivada de lo de dentro.
Derivadas de polinomios
Se deriva término a término: cada xn baja el exponente y lo deja delante multiplicando, y las constantes se van a 0.
1Deriva: f(x) = 3x4 − 5x2 + 2x − 7.
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Se deriva término a término. La derivada de 3x4 es 3 · 4x3 = 12x3.
La de −5x2 es −5 · 2x = −10x. La de 2x es 2.
La de −7 es 0, porque es una constante.
Queda f'(x) = 12x3 − 10x + 2.
2Deriva f(x) = x3 − 3x2 + 2.
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Se deriva término a término.
La derivada de x3 es 3x2.
La de −3x2 es −3 · 2x = −6x.
La de la constante 2 es 0.
Así que f′(x) = 3x2 − 6x.
3Deriva f(x) = 3x4 − 2x2 + 5x − 7.
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Se deriva término a término.
(3x4)′ = 12x3.
(−2x2)′ = −4x.
(5x)′ = 5 y la derivada de −7 es 0.
Así que f′(x) = 12x3 − 4x + 5.
NOTA: la constante desaparece, no se queda. Dejar el −7 daría 12x3 − 4x + 5 − 7, que es la derivada de OTRA función (de 3x4 − 2x2 − 2x, por ejemplo), no de f.
Regla del producto: derivada de un producto
Derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo.
4Deriva: f(x) = x2 · sen x y g(x) = (2x + 1) / (x − 3).
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En f se usa la regla del producto: la derivada de x2 es 2x y la de sen x es cos x.
f'(x) = 2x · sen x + x2 · cos x.
En g se usa la del cociente: arriba queda 2 · (x − 3) − (2x + 1) · 1 = 2x − 6 − 2x − 1 = −7.
g'(x) = −7 / (x − 3)2.
NOTA: el numerador de la regla del cociente empieza por la derivada del de arriba, y el orden no se puede cambiar: al revés saldría +7, con el signo cambiado.
5Deriva f(x) = x2 · ex.
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Es un producto, así que se aplica su regla.
La derivada del primero es 2x, y el segundo se deja: 2x · ex.
Más el primero por la derivada del segundo: x2 · ex.
f′(x) = 2x·ex + x2·ex, que sacando factor común es ex(2x + x2).
NOTA: la derivada de un producto no es el producto de las derivadas. Con 2x · ex a secas faltaría la mitad.
6Deriva g(x) = x2·ex y h(x) = (x + 1) : (x − 1).
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Para g se usa la regla del producto con u = x2 y v = ex, así que u′ = 2x y v′ = ex.
g′(x) = 2x·ex + x2·ex, y sacando factor común, g′(x) = x(x + 2)ex.
Para h se usa la del cociente con u = x + 1 y v = x − 1, así que u′ = 1 y v′ = 1.
El numerador queda 1·(x − 1) − (x + 1)·1 = −2, así que h′(x) = −2 : (x − 1)2.
NOTA: la derivada de un cociente no es el cociente de las derivadas. Eso daría 1 : 1 = 1, y la derivada de h es negativa en todo su dominio.
Regla del cociente: derivada de un cociente
⚠ El numerador empieza por la derivada del de arriba, y el orden no se puede cambiar: al revés sale el signo contrario.
7Deriva f(x) = (x + 1) / (x − 1).
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Es un cociente, así que se aplica su regla.
La derivada del numerador es 1, y por el denominador: 1 · (x − 1) = x − 1.
Menos el numerador por la derivada del denominador: (x + 1) · 1 = x + 1.
El numerador de la derivada queda (x − 1) − (x + 1) = −2, y el denominador, (x − 1)2.
f′(x) = −2 / (x − 1)2.
8Deriva p(x) = (x2 + 1) : (x − 2).
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Con u = x2 + 1 y v = x − 2, se tiene u′ = 2x y v′ = 1.
El numerador de la derivada es 2x(x − 2) − (x2 + 1) · 1, que desarrollado es 2x2 − 4x − x2 − 1.
Agrupando: x2 − 4x − 1.
p′(x) = (x2 − 4x − 1) : (x − 2)2.
NOTA: el denominador va al CUADRADO. Dejándolo en (x − 2) sale otra función, no la derivada de p. ⚠ No se distingue mirando dónde se anula: el numerador es el mismo, así que las dos se anulan en los mismos puntos. Lo que cambia es el valor, y para x < 2 también el signo: en x = 0, la correcta vale −0,25 y la otra +0,5. ⚠ Para x > 2 las dos tienen el mismo signo, así que el signo solo las distingue a la izquierda del 2.
Regla de la cadena
Se deriva la de fuera dejando lo de dentro sin tocar, y se multiplica por la derivada de lo de dentro.
9Deriva: f(x) = (3x2 + 1)5.
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Es una función compuesta, así que se usa la regla de la cadena.
La de fuera es «elevar a la quinta»: su derivada es 5 · (3x2 + 1)4, dejando lo de dentro sin tocar.
La de dentro es 3x2 + 1, cuya derivada es 6x.
Multiplicando: f'(x) = 5(3x2 + 1)4 · 6x = 30x(3x2 + 1)4.
NOTA: olvidar el 6x de la derivada de dentro es el fallo más repetido de la regla de la cadena.
10Deriva f(x) = (3x2 − 1)4.
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Lo de fuera es una cuarta potencia y lo de dentro es 3x2 − 1.
Derivando lo de fuera: 4(3x2 − 1)3.
Y la derivada de lo de dentro es 6x.
Multiplicando: f′(x) = 24x(3x2 − 1)3.
NOTA: no basta con bajar el 4 y restar uno al exponente. Sin multiplicar por la derivada de lo de dentro saldría 4(3x2 − 1)3, que es la derivada de otra función.
Derivadas de raíces
Una raíz es una potencia de exponente fraccionario, así que se deriva como una potencia. ⚠ Y no todas se comportan igual: en la cúbica el exponente es 1/3, no 1/2.
11Deriva: f(x) = √x.
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Una raíz es una potencia de exponente fraccionario: √x = x1/2.
Se deriva como cualquier potencia: (1/2)·x−1/2, que se vuelve a escribir como raíz.
Queda f′(x) = 1 / (2√x).
12Deriva: f(x) = √(3x + 1).
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Hay una función dentro de la raíz, así que además de la regla de la potencia toca la de la cadena.
La derivada de √u es u′ / (2√u), con u = 3x + 1 y u′ = 3.
Queda f′(x) = 3 / (2√(3x + 1)).
13Deriva: f(x) = 3√x.
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⚠ No toda raíz funciona como la cuadrada: en la cúbica el exponente es 1/3, no 1/2.
3√x = x1/3, y su derivada es (1/3)·x−2/3.
Queda f′(x) = 1 / (3·3√(x2)).
Derivadas exponenciales y logarítmicas
14Deriva g(x) = ln(x2 + 1) y h(x) = e3x.
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En g, lo de dentro es x2 + 1 y su derivada es 2x. La regla del logaritmo pone la derivada de dentro arriba y lo de dentro abajo: g′(x) = 2x : (x2 + 1).
En h, lo de dentro es 3x y su derivada es 3. La exponencial se queda igual y se multiplica: h′(x) = 3e3x.
NOTA: la derivada de ln(x2 + 1) no es 1 : (x2 + 1). Falta el 2x de la cadena, y sin él la derivada no se anula donde debe.
Derivadas trigonométricas: seno, coseno y tangente
15Deriva f(x) = sen(3x2).
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Es una composición: por fuera el seno y por dentro 3x2.
La derivada de la de fuera, evaluada en la de dentro, es cos(3x2).
La derivada de la de dentro es 6x.
Multiplicando las dos: f′(x) = cos(3x2) · 6x.
NOTA: dejarlo en cos(3x2) deja la derivada a medias, y lo que falta es justo el factor 6x.
Derivada por definición
Cae en los exámenes de 1.º de Bachillerato: piden el límite del cociente incremental, no la regla.
16Calcula, usando la definición, la derivada de f(x) = x2 en x = 3.
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La definición es el límite, cuando h tiende a 0, de [f(3 + h) − f(3)] / h.
f(3 + h) = (3 + h)2 = 9 + 6h + h2, y f(3) = 9.
La resta es 6h + h2, y al dividir entre h queda 6 + h.
Cuando h tiende a 0, el límite es 6.
Con la regla se comprueba enseguida: la derivada de x2 es 2x, y en x = 3 vale 6.
Aplicaciones de las derivadas: recta tangente, máximos y mínimos
La derivada en un punto es la pendiente de la tangente ahí; y donde la derivada vale 0 están los máximos y los mínimos.
17Halla la recta tangente a f(x) = x3 − 3x2 + 2 en x = 1.
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El punto: f(1) = 1 − 3 + 2 = 0, así que la tangente pasa por (1, 0).
La pendiente: f′(x) = 3x2 − 6x, y f′(1) = 3 − 6 = −3.
La tangente es y − 0 = −3(x − 1), o sea y = −3x + 3.
NOTA: la pendiente es negativa, así que la recta baja. Si saliera positiva habría un error de signo: en x = 1 la función está decreciendo.
18Halla los máximos y los mínimos de f(x) = x3 − 3x.
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Se deriva y se iguala a cero: f′(x) = 3x2 − 3 = 0, así que x2 = 1 y x = 1 o x = −1.
Signo de f′ en cada tramo: en x = −2, f′ = 9, positiva; en x = 0, f′ = −3, negativa; en x = 2, f′ = 9, positiva.
La función crece, baja y vuelve a crecer, así que en x = −1 hay un máximo y en x = 1 un mínimo.
Sus valores: f(−1) = −1 + 3 = 2 y f(1) = 1 − 3 = −2.
Máximo en (−1, 2) y mínimo en (1, −2).
NOTA: el máximo está a la izquierda y vale MÁS que el mínimo, pero no es el valor mayor de la función: en x = 3 vale 18. Son extremos relativos, no absolutos.
Descargar ejercicios de derivadas matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de derivadas de matemáticas resueltos paso a paso, de 1.º y 2.º de Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Derivadas en 1.º de Bachillerato
En 1.º se empieza por la definición y la tabla, y se practican las cuatro reglas con polinomios, productos, cocientes y composiciones sencillas. Las aplicaciones (tangente, crecimiento, máximos y mínimos) se ven al final del tema.
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
1.º de Bachillerato en PDF 1.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Derivadas en 2.º de Bachillerato
En 2.º la derivada deja de ser el tema y pasa a ser la herramienta: se usa para representar funciones, para optimizar y en los problemas de la EBAU. Lo que se exige es derivar rápido y sin fallos, incluidas las exponenciales, las logarítmicas y la cadena encadenada dos veces.
Y el cuadernillo completo de 2.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
2.º de Bachillerato en PDF 2.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.