Logaritmos: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de logaritmos resueltos paso a paso: la definición, las propiedades, el cambio de base y las ecuaciones logarítmicas.
Cada uno con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
Qué es un logaritmo (y por qué con eso basta)
Lo que hay que saber
logb x = y significa by = x. Un logaritmo es un exponente: el que hay que ponerle a la base para llegar al número. Con esa frase se resuelven casi todos los ejercicios del tema.
Las propiedades son tres y todas dicen lo mismo: el logaritmo convierte productos en sumas, cocientes en restas y potencias en multiplicaciones. Por eso se inventaron.
⚠ Dos límites que hay que tener siempre presentes: la base tiene que ser positiva y distinta de 1, y el número del que se toma el logaritmo tiene que ser positivo. De ahí sale la trampa de las ecuaciones.
⛔ Y lo que NO existe: el logaritmo de una suma no es la suma de los logaritmos.
Qué es un logaritmo: la definición
⚠ El tercero tiene resultado negativo: eso solo significa que el número es menor que 1.
1Calcula log2 8.
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El logaritmo pregunta a qué exponente hay que elevar la base para que salga el número: log2 8 = y significa 2y = 8.
23 = 8, así que el logaritmo es 3.
2Calcula log3 81.
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El logaritmo pregunta a qué exponente hay que elevar la base para que salga el número: log3 81 = y significa 3y = 81.
34 = 81, así que el logaritmo es 4.
3Calcula log2 0,25.
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El logaritmo pregunta a qué exponente hay que elevar la base para que salga el número: log2 0,25 = y significa 2y = 0,25.
2−2 = 0,25, así que el logaritmo es −2.
Propiedades de los logaritmos
4Calcula log2 32 sabiendo que log2 4 = 2 y log2 8 = 3.
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La propiedad que toca es log(a · b) = log a + log b.
32 = 4 · 8, así que su logaritmo es la suma: 2 + 3 = 5.
⚠ Comprobación por la definición: 25 = 32.
5Calcula log3 27 sabiendo que log3 81 = 4 y log3 3 = 1.
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La propiedad que toca es log(a : b) = log a − log b.
27 = 81 : 3, así que su logaritmo es la resta: 4 − 1 = 3.
⚠ Comprobación por la definición: 33 = 27.
6Calcula log2 64 usando que log2 4 = 2.
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La propiedad que toca es log(an) = n · log a.
64 = 43, así que su logaritmo es 3 · 2 = 6.
⚠ Comprobación por la definición: 26 = 64.
Cambio de base
7Calcula log2 8 con la calculadora, que solo tiene log en base 10.
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La fórmula del cambio de base: log2 8 = (log 8) : (log 2), con los dos logaritmos en la misma base, la que tenga la calculadora.
Aquí sale exacto: 23 = 8, así que el resultado es 3.
8Calcula log5 125 con la calculadora, que solo tiene log en base 10.
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La fórmula del cambio de base: log5 125 = (log 125) : (log 5), con los dos logaritmos en la misma base, la que tenga la calculadora.
Aquí sale exacto: 53 = 125, así que el resultado es 3.
Ecuaciones logarítmicas
⛔ El último es el importante: tiene DOS soluciones algebraicas y una hay que descartarla porque deja un logaritmo de un número negativo.
9Resuelve log2 x = 5.
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Por la definición, x = 25 = 32.
Solución: x = 32.
10Resuelve log x + log 2 = log 10.
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Por la propiedad del producto, log(2x) = log 10, así que 2x = 10 y x = 5.
Solución: x = 5.
11Resuelve log(x + 3) + log(x) = log 4.
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Por el producto, log(x² + 3x) = log 4, así que x² + 3x = 4 y x² + 3x − 4 = 0. Sus soluciones son x = 1 y x = −4.
⛔ Y aquí está la trampa del tema: x = −4 se descarta, porque log(−4) no existe —el logaritmo solo está definido para números POSITIVOS—. La solución válida es x = 1.
Descargar ejercicios de Logaritmos Matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de logaritmos de matemáticas resueltos paso a paso, de 4.º de ESO y Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Logaritmos en 4.º de ESO
En 4.º (opción B, académicas) entra la definición, las propiedades y los logaritmos decimales. Todavía no las ecuaciones complicadas.
Y el cuadernillo completo de 4.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Logaritmos en 1.º de Bachillerato
En 1.º se usan de verdad: ecuaciones exponenciales y logarítmicas, y el número e con el logaritmo neperiano (ln).
⚠ En Ciencias Sociales aparecen además en el interés compuesto: para despejar el tiempo de C · (1 + i)t hace falta un logaritmo.
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
1.º de Bachillerato en PDF 1.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Logaritmos en 2.º de Bachillerato
En 2.º ya no se estudian: se usan. Salen en límites (la indeterminación 1∞), en derivadas y en la derivación logarítmica.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.