Radicales: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de radicales resueltos paso a paso: simplificar, operar (suma, resta, producto y cociente), racionalizar el denominador y pasar de raíz a potencia de exponente fraccionario.
Cada uno con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
Las propiedades de los radicales, que es de donde sale todo
Lo que hay que saber
Una raíz es una potencia de exponente fraccionario: el denominador del exponente es el índice. Escribirlo así es lo que permite usar las propiedades de las potencias de siempre, y por eso es el primer paso de casi todo.
Las tres que más se usan: la raíz de un producto es el producto de las raíces, la de un cociente es el cociente de las raíces, y un factor sale de la raíz cuadrada dividiendo su exponente entre 2.
⛔ Y la que no existe: la raíz de una suma NO es la suma de las raíces. √2 + √3 no es √5 — se ve en un segundo con la calculadora (3,15 frente a 2,24) y es el error más repetido del tema.
Potencias de exponente fraccionario
1Calcula 82/3.
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8 = 23, así que 82/3 = (23)2/3 = 22.
Resultado: 4.
2Calcula 27-1/3.
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27 = 33; el exponente negativo da la vuelta a la fracción.
Resultado: 1/3.
3Calcula 813/4.
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81 = 34, así que 813/4 = 33.
Resultado: 27.
Simplificar radicales: extraer factores
⚠ Un resultado con un cuadrado todavía dentro de la raíz está sin terminar, aunque el valor sea correcto: √72 vale lo mismo que 6√2 y está mal puesto.
4Simplifica √72 extrayendo todos los factores que puedas.
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Se busca el mayor cuadrado perfecto que divida a 72: es 36.
√72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2.
El 36 sale de la raíz convertido en 6.
5Simplifica √180 extrayendo todos los factores que puedas.
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Se busca el mayor cuadrado perfecto que divida a 180: es 36.
√180 = √(36 · 5) = √36 · √5 = 6√5.
El 36 sale de la raíz convertido en 6.
6Simplifica √128 extrayendo todos los factores que puedas.
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Se busca el mayor cuadrado perfecto que divida a 128: es 64.
√128 = √(64 · 2) = √64 · √2 = 8√2.
El 64 sale de la raíz convertido en 8.
Operaciones con radicales: suma, resta, producto y cociente
7Opera y simplifica: 3√2 + 5√2.
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Los dos radicales son semejantes (el mismo radicando), así que se suman los coeficientes: 3 + 5 = 8.
Resultado: 8√2.
8Opera y simplifica: √8 + √18.
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⚠ Parecen distintos y no lo son: √8 = 2√2 y √18 = 3√2. Ya semejantes, 2 + 3 = 5.
Resultado: 5√2.
9Opera y simplifica: √75 − √12 + √3.
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√75 = 5√3, √12 = 2√3 y √3 se queda. 5 − 2 + 1 = 4.
Resultado: 4√3.
10Multiplica y simplifica: √2 · √6.
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El producto de dos raíces del mismo índice es la raíz del producto: √2 · √6 = √12.
Y √12 todavía se simplifica: √12 = √(4 · 3) = 2√3.
Resultado: 2√3.
11Divide y simplifica: √50 : √2.
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El cociente de dos raíces del mismo índice es la raíz del cociente: √50 : √2 = √(50/2) = √25.
√50 : √2 = √25 = 5.
Resultado: 5.
Racionalizar el denominador
⚠ Con un binomio abajo no vale multiplicar por él mismo: hay que usar su conjugado, que es el mismo con el signo de en medio cambiado.
12Racionaliza el denominador de 1 / √2.
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Se multiplica arriba y abajo por √2: √2 / (√2·√2) = √2/2.
Resultado: √2/2.
13Racionaliza el denominador de 6 / (2√3).
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Por √3: 6√3 / (2·3) = 6√3/6 = √3.
Resultado: √3.
14Racionaliza el denominador de 1 / (1 + √3).
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Con un binomio se multiplica por su conjugado, 1 − √3, para que abajo salga una diferencia de cuadrados: (1 + √3)(1 − √3) = 1 − 3 = −2. Arriba queda 1 − √3, así que la fracción es (1 − √3) / (−2) = (√3 − 1) / 2, que repartido término a término es −1/2 + √3/2.
Resultado: −1/2 + √3/2.
Comparar radicales
15¿Cuál es mayor, 2√3 o 3√2?
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Se mete el coeficiente dentro de la raíz elevándolo al cuadrado, y entonces basta comparar los radicandos.
2√3 = √(4·3) = √12 y 3√2 = √(9·2) = √18.
El mayor es 3√2.
16¿Cuál es mayor, 4√3 o 2√11?
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Se mete el coeficiente dentro de la raíz elevándolo al cuadrado, y entonces basta comparar los radicandos.
4√3 = √48 y 2√11 = √44.
El mayor es 4√3.
Descargar ejercicios de Radicales Matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de radicales de matemáticas resueltos paso a paso, de 3.º de ESO a 1.º de Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Radicales en 3.º de ESO
En 3.º aparecen las raíces cuadradas y la simplificación: sacar factores fuera de la raíz y reconocer cuándo dos radicales son semejantes.
Y el cuadernillo completo de 3.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 3.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Radicales en 4.º de ESO
4.º es el curso del tema: exponente fraccionario, operaciones con radicales y racionalizar denominadores.
⚠ Los radicales entran en la opción B (académicas), que es la que prepara el Bachillerato de Ciencias.
Y el cuadernillo completo de 4.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Radicales y números reales en 1.º de Bachillerato
En 1.º los radicales dejan de ser un tema aparte y pasan a ser una herramienta: se usan al racionalizar, al operar con números reales y en intervalos y valor absoluto.
⚠ Y aquí aparece el límite de los reales: la raíz cuadrada de un número negativo no existe entre los reales, porque ningún número al cuadrado da algo negativo. Ese es justo el punto por el que se inventan los números complejos, con i2 = −1, que se estudian después en el mismo curso.
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.