Trigonometría: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de trigonometría de matemáticas resueltos paso a paso: razones trigonométricas, identidades, pasar de una razón a las demás y resolver triángulos.
Cada uno trae la solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
Las razones trigonométricas
Lo que hay que saber
En un triángulo rectángulo: seno = cateto opuesto / hipotenusa, coseno = cateto contiguo / hipotenusa y tangente = opuesto / contiguo. ⚠ Son cocientes de longitudes: no tienen unidades.
La identidad fundamental, sen²α + cos²α = 1, no es una fórmula más: es el teorema de Pitágoras escrito con razones, y de ella salen casi todas las demás.
⚠ Al pasar de una razón a otra aparece un ±, y el cuadrante es lo que decide el signo. Sin él, la respuesta son dos.
Razones trigonométricas: seno, coseno y tangente
1En un triángulo rectángulo los catetos miden 3 cm y 4 cm. Halla la hipotenusa y el seno del ángulo opuesto al cateto de 3.
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Por el teorema de Pitágoras: h2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25, o sea h = 5 cm.
El seno es cateto opuesto entre hipotenusa: sen α = 3/5 = 0,6.
⚠ El seno no tiene unidades: es un cociente de dos longitudes.
2Calcula sen 30°, cos 30° y tg 30°.
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Son razones de la tabla, y salen del triángulo equilátero partido por la mitad.
sen 30° = 1/2 = 0,5.
cos 30° = √3/2 ≈ 0,866.
tg 30° = sen/cos = 1/√3 ≈ 0,577.
3Calcula sen 45°, cos 45° y tg 45°.
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Salen del cuadrado partido por su diagonal.
sen 45° = cos 45° = √2/2 ≈ 0,707.
Y como son iguales, tg 45° = 1.
Identidades trigonométricas
⚠ sen 2α no es 2·sen α: con α = 30°, sen 60° ≈ 0,866 y 2·sen 30° = 1.
4Comprueba la identidad: sen2α + cos2α = 1.
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Es la identidad fundamental y sale directamente del teorema de Pitágoras en la circunferencia de radio 1.
Se cumple para cualquier ángulo, no solo para algunos.
5Comprueba la identidad: sen 2α = 2 · sen α · cos α.
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Es la fórmula del ángulo doble.
⚠ sen 2α no es 2·sen α: con α = 30°, sen 60° ≈ 0,866 y 2·sen 30° = 1.
De una razón a las demás
⚠ El cuadrante decide el signo.
6Si sen α = 3/5 y α está en el primer cuadrante, halla cos α y tg α.
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Se usa la identidad fundamental: cos2α = 1 − sen2α = 1 − 9/25 = 16/25.
cos α = ±4/5, y como α está en el primer cuadrante, el coseno es positivo: cos α = 4/5.
⚠ El cuadrante no es un adorno: sin él la respuesta serían dos.
tg α = sen/cos = (3/5)/(4/5) = 3/4.
7Si cos α = 12/13 y α está en el primer cuadrante, halla sen α.
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sen2α = 1 − (12/13)2 = 1 − 144/169 = 25/169.
sen α = 5/13, positivo por estar en el primer cuadrante.
Es el triángulo 5-12-13, que conviene reconocer.
Resolver triángulos rectángulos
Si aparece la hipotenusa, seno o coseno; si solo hay catetos, tangente.
8En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 10 cm y un ángulo 30°. Halla los dos catetos.
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El cateto opuesto al ángulo de 30°: sen 30° = op/10, o sea op = 10 · 0,5 = 5 cm.
El contiguo: cos 30° = cont/10, o sea cont = 10 · 0,866 ≈ 8,66 cm.
Comprobación con Pitágoras: 52 + 8,662 ≈ 25 + 75 = 100 = 102. Cierra.
9Una escalera de 4 m apoyada en la pared forma 60° con el suelo. ¿A qué altura llega y a qué distancia está el pie de la pared?
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La escalera es la hipotenusa y la altura es el cateto opuesto a los 60°.
Altura = 4 · sen 60° = 4 · 0,866 ≈ 3,46 m.
Distancia al pie = 4 · cos 60° = 4 · 0,5 = 2 m.
Comprobación: 3,462 + 22 ≈ 12 + 4 = 16 = 42.
10Desde 20 m de un edificio se ve su parte alta con un ángulo de 40°. ¿Cuánto mide el edificio?
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La altura es el cateto opuesto al ángulo y los 20 m el contiguo, así que toca la tangente.
tg 40° = altura / 20, o sea altura = 20 · tg 40° ≈ 20 · 0,839 ≈ 16,8 m.
⚠ El fallo típico es usar el seno: el seno necesita la hipotenusa, y aquí la hipotenusa no se conoce.
Descargar ejercicios de trigonometría de matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de trigonometría de matemáticas resueltos paso a paso, de 4.º de ESO y Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Trigonometría en 4.º de ESO
En 4.º se ven las razones en el triángulo rectángulo y se resuelven triángulos: alturas, escaleras y distancias que no se pueden medir directamente.
Y el cuadernillo completo de 4.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Trigonometría en 1.º de Bachillerato
En 1.º se amplía a la circunferencia entera (ángulos de más de 90°), llegan las identidades, las fórmulas del ángulo doble y las ecuaciones trigonométricas.
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.