Inecuaciones: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de inecuaciones de matemáticas resueltos paso a paso, ordenados por el tipo que toca: las de primer grado, las cuadráticas, las racionales, las que llevan valor absoluto, los sistemas de inecuaciones y los problemas.
Cada uno trae la solución desplegable con todos los pasos y el conjunto solución explicado, no solo el resultado. Y el PDF con todos para imprimir.
⚠ Si lo que buscas son sistemas de ecuaciones (con el signo =), eso es otra cosa y está en ejercicios de sistemas de ecuaciones. Aquí se resuelven desigualdades.
Cómo se resuelve una inecuación
Lo que hay que saber
Una inecuación se resuelve casi igual que una ecuación: se despeja la x. La diferencia es que la solución no es un número, es un conjunto de números.
⚠ Y hay una regla que no está en las ecuaciones y que es el fallo más repetido: al multiplicar o dividir los dos lados por un número negativo, el signo de la desigualdad se da la vuelta. Si −2x > −6, entonces x < 3, no x > 3.
En las de grado dos o más y en las racionales no se despeja: se iguala a cero, se buscan los valores que anulan, se parte la recta en trozos y se prueba un punto de cada trozo.
Inecuaciones de primer grado: cómo se resuelven
Se despeja la x como en una ecuación. ⚠ El único cuidado: si hay que dividir por un número negativo, el signo cambia de sentido.
1Resuelve: 3x − 5 < 7.
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Se pasa el −5 al otro lado sumando: 3x < 7 + 5, o sea 3x < 12.
Se divide entre 3, que es positivo, así que el signo no cambia.
La solución es x < 4.
2Resuelve: −2x + 6 > 0.
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Se pasa el 6: −2x > −6.
⚠ Ahora se divide entre −2, que es NEGATIVO, así que el signo se da la vuelta: x < 3. Este es el fallo que más se repite en las inecuaciones.
La solución es x < 3.
3Resuelve: 5x − 3 ≤ 2x + 9.
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Se juntan las x a un lado y los números al otro: 5x − 2x ≤ 9 + 3.
Queda 3x ≤ 12, y al dividir entre 3 (positivo) el signo no cambia.
La solución es x ≤ 4.
Inecuaciones cuadráticas (de segundo grado)
Se igualan a cero, se buscan las raíces y se estudia el signo en cada trozo de la recta. ⚠ Lo que decide no es la fórmula: es el signo en cada trozo.
4Resuelve: x2 − 5x + 6 > 0.
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Se iguala a cero para encontrar las raíces: x2 − 5x + 6 = 0 da x = 2 y x = 3.
Esas dos raíces parten la recta en tres trozos: (−∞, 2), (2, 3) y (3, +∞).
Se prueba un punto de cada trozo: en x = 0 vale 6 (positivo), en x = 2,5 vale −0,25 (negativo) y en x = 4 vale 2 (positivo).
La solución es x < 2 o x > 3.
5Resuelve: x2 − 4 ≤ 0.
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Las raíces de x2 − 4 = 0 son x = −2 y x = 2.
Como la parábola abre hacia arriba, es negativa entre las dos raíces. El ≤ incluye los extremos.
La solución es −2 ≤ x ≤ 2.
6Resuelve: x2 + 2x + 1 > 0.
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x2 + 2x + 1 = (x + 1)2, que es un cuadrado.
⚠ Un cuadrado nunca es negativo: vale 0 solo en x = −1 y es positivo en todo lo demás. Aquí no hay dos raíces que partan la recta, hay una doble.
La solución es todos los números menos x = −1.
Inecuaciones racionales (con fracciones)
⛔ No se puede multiplicar por el denominador sin saber su signo. Y los valores que anulan el denominador quedan siempre fuera de la solución.
7Resuelve: (x − 1) / (x + 2) > 0.
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⚠ Aquí NO se puede multiplicar por el denominador sin más: no se sabe si es positivo o negativo, y el signo dependería de eso.
Se buscan los valores que anulan arriba (x = 1) y abajo (x = −2), y se estudia el signo en cada trozo.
En x = −3: (−4)/(−1) = 4, positivo. En x = 0: (−1)/2, negativo. En x = 2: 1/4, positivo.
⚠ x = −2 queda fuera siempre: ahí no se puede dividir.
La solución es x < −2 o x > 1.
8Resuelve: (x + 3) / (x − 1) ≤ 0.
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Anulan: arriba x = −3, abajo x = 1.
El cociente es negativo entre los dos. El ≤ incluye el −3 (allí vale 0) pero no el 1, porque ahí no se puede dividir.
La solución es −3 ≤ x < 1.
Inecuaciones con valor absoluto
|x| es la distancia al cero. Con < sale un intervalo; con >, dos trozos unidos por «o».
9Resuelve: |x| < 3.
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|x| es la distancia de x al 0, así que «|x| < 3» son los números que están a menos de 3 del cero.
La solución es −3 < x < 3.
10Resuelve: |2x + 1| > 5.
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Con > se parte en dos casos: 2x + 1 > 5 o 2x + 1 < −5.
Del primero sale x > 2; del segundo, x < −3.
⚠ Van unidos por «o», no por «y»: con «y» no habría solución.
La solución es x < −3 o x > 2.
Sistemas de inecuaciones
Se resuelve cada inecuación por su lado y la solución es la parte común a las dos.
11Resuelve el sistema: x + 1 > 0 y x − 3 < 0.
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Se resuelve cada una por separado: la primera da x > −1 y la segunda x < 3.
La solución del sistema es lo que cumplen las dos a la vez, o sea la parte común.
La solución es −1 < x < 3.
12Resuelve el sistema: 2x ≥ 4 y x < 7.
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La primera da x ≥ 2 y la segunda x < 7.
La parte común incluye el 2 y deja fuera el 7.
La solución es 2 ≤ x < 7.
13Resuelve el sistema: x2 − 1 < 0 y x > 0.
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La primera es de segundo grado: sus raíces son −1 y 1, y entre ellas es negativa, o sea −1 < x < 1.
Cruzándola con x > 0 queda solo el trozo de 0 a 1.
La solución es 0 < x < 1.
Problemas con inecuaciones
⚠ El contexto añade condiciones que la inecuación no dice: los kilómetros no son negativos y una nota no pasa de 10.
14Un número más 7 no llega a 15. ¿Qué números cumplen eso?
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Se llama x al número y se traduce: «más 7» es x + 7, y «no llega a 15» es < 15.
Queda x + 7 < 15, y pasando el 7: x < 8.
La solución es x < 8.
15Un taxi cobra 3 € de bajada de bandera y 1,20 € por kilómetro. ¿Cuántos kilómetros se pueden hacer con 15 €?
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El precio de x kilómetros es 3 + 1,20x, y tiene que caber en 15 €.
3 + 1,20x ≤ 15 → 1,20x ≤ 12 → x ≤ 10.
⚠ Y hay una condición que la inecuación no dice y el problema sí: los kilómetros no pueden ser negativos.
La solución es hasta 10 km (x ≤ 10).
16Para aprobar hace falta una media de 5 con dos notas, y en la primera se sacó un 4. ¿Qué nota hace falta en la segunda?
Ver solución
La media de las dos notas es (4 + x) / 2, y tiene que llegar a 5.
(4 + x) / 2 ≥ 5 → 4 + x ≥ 10 → x ≥ 6.
⚠ Aquí el contexto también acota por arriba: la nota no puede pasar de 10.
La solución es al menos un 6 (x ≥ 6).
Descargar ejercicios de inecuaciones de matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de inecuaciones de matemáticas resueltos paso a paso, de 4.º de ESO y Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Inecuaciones en 4.º de ESO
En 4.º de ESO se ven sobre todo las de primer grado y las cuadráticas, y los problemas que se traducen a una desigualdad. Lo que más se corrige es el cambio de signo al dividir por un número negativo.
Y el cuadernillo completo de 4.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Inecuaciones en 1.º de Bachillerato
En 1.º se añaden las racionales y las de valor absoluto, y se empieza a trabajar con sistemas de inecuaciones. Aquí ya no se despeja: se estudia el signo por trozos.
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Inecuaciones en 2.º de Bachillerato
En 2.º las inecuaciones dejan de ser el tema y pasan a ser la herramienta: los sistemas con dos incógnitas son el paso previo a la programación lineal, que tiene su propia página de ejercicios.
Y el cuadernillo completo de 2.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.