Sistemas de ecuaciones: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de sistemas de ecuaciones resueltos paso a paso por los tres métodos —sustitución, igualación y reducción—, con los tipos de sistema y los problemas.
Cada uno trae la solución desplegable y la comprobación en las dos ecuaciones, que es lo que de verdad asegura que está bien. Y el PDF con todos.
⚠ Si lo que buscas son ecuaciones de una sola incógnita, están en ejercicios de ecuaciones.
Los tres métodos y cuándo usar cada uno
Lo que hay que saber
Un sistema son dos ecuaciones con dos incógnitas, y resolverlo es encontrar el par (x, y) que cumple las dos a la vez.
Sustitución: se despeja una incógnita y se mete en la otra ecuación. Va bien cuando alguna ya está casi despejada. Igualación: se despeja la misma incógnita en las dos y se igualan. Reducción: se suman o restan las ecuaciones para que una incógnita desaparezca — es el que mejor escala.
⚠ Y la comprobación no es opcional ni es media: hay que sustituir en las dos ecuaciones. Un par puede cumplir una y fallar la otra.
Método de sustitución
1Resuelve por sustitución:
x + y = 10
x − y = 4
Ver solución
Se despeja una incógnita en una ecuación: de la primera, x = 10 − y.
Se sustituye en la otra: (10 − y) − y = 4, o sea 10 − 2y = 4.
De ahí y = 3, y volviendo atrás x = 10 − 3 = 7.
La solución es x = 7, y = 3.
Comprobación: se sustituye en las dos ecuaciones.
2Resuelve por sustitución:
y = 2x
x + y = 9
Ver solución
La primera ya está despejada, así que se sustituye directamente: x + 2x = 9.
3x = 9 da x = 3, y entonces y = 6.
La solución es x = 3, y = 6.
Comprobación: se sustituye en las dos ecuaciones.
Método de igualación
3Resuelve por igualación:
x + y = 7
2x − y = 2
Ver solución
Se despeja la misma incógnita en las dos: de la primera y = 7 − x, de la segunda y = 2x − 2.
Se igualan: 7 − x = 2x − 2.
9 = 3x → x = 3, y entonces y = 4.
La solución es x = 3, y = 4.
4Resuelve por igualación:
3x + y = 11
x + y = 5
Ver solución
De las dos se despeja y: y = 11 − 3x e y = 5 − x.
11 − 3x = 5 − x → 6 = 2x → x = 3, y entonces y = 2.
La solución es x = 3, y = 2.
Método de reducción
Si los coeficientes no coinciden, primero se multiplica cada ecuación por lo que haga falta.
5Resuelve por reducción:
2x + 3y = 12
2x − y = 4
Ver solución
Las dos tienen 2x, así que restando la segunda a la primera desaparece la x.
(2x + 3y) − (2x − y) = 12 − 4 → 4y = 8 → y = 2.
Y sustituyendo en cualquiera: 2x − 2 = 4 → x = 3.
La solución es x = 3, y = 2.
6Resuelve por reducción:
x + 2y = 8
3x − 2y = 4
Ver solución
Aquí los coeficientes de y son +2 y −2, así que sumando desaparece la y.
4x = 12 → x = 3, y entonces 3 + 2y = 8 → y = 2,5.
⚠ Que la solución no sea entera no es un error: los sistemas no tienen por qué dar números redondos.
La solución es x = 3, y = 2,5.
7Resuelve por reducción:
3x + 2y = 16
5x − 3y = 14
Ver solución
Ningún coeficiente coincide, así que primero se igualan: se multiplica la primera por 3 y la segunda por 2.
9x + 6y = 48 y 10x − 6y = 28. Sumando: 19x = 76 → x = 4.
Y sustituyendo: 12 + 2y = 16 → y = 2.
La solución es x = 4, y = 2.
Tipos de sistema: compatible, indeterminado e incompatible
⚠ Que no salga un número no significa que esté mal resuelto: puede no tener solución o tener infinitas.
8¿Qué tipo de sistema es?
x + y = 4
2x + 2y = 8
Ver solución
Si se multiplica la primera por 2 sale exactamente la segunda: son la misma ecuación escrita dos veces.
No hay una sola solución: valen todos los pares con x + y = 4, como (0, 4), (1, 3) o (4, 0).
Es un sistema compatible indeterminado: infinitas soluciones.
⚠ Geométricamente son dos rectas superpuestas.
9¿Qué tipo de sistema es?
x + y = 3
x + y = 5
Ver solución
Las dos empiezan igual pero piden cosas distintas: la misma suma no puede valer 3 y 5.
Es un sistema incompatible: no tiene solución.
⚠ Geométricamente son dos rectas paralelas, que no se cortan nunca.
10¿Qué tipo de sistema es?
x + y = 6
x − y = 2
Ver solución
Las dos ecuaciones son distintas y no una múltiplo de la otra.
Tiene una sola solución: x = 4, y = 2.
Es compatible determinado: dos rectas que se cortan en un punto.
Problemas de sistemas de ecuaciones
Dos incógnitas piden DOS condiciones distintas en el enunciado.
11En una granja hay gallinas y conejos: 20 cabezas y 56 patas en total. ¿Cuántos hay de cada?
Ver solución
Se llama g a las gallinas y c a los conejos. Cabezas: g + c = 20.
Patas: cada gallina pone 2 y cada conejo 4, así que 2g + 4c = 56.
Resolviendo (por reducción, multiplicando la primera por 2): 2g + 2c = 40, y restando queda 2c = 16 → c = 8, g = 12.
Comprobación: 12 + 8 = 20 cabezas y 24 + 32 = 56 patas.
12Tres bolígrafos y dos cuadernos cuestan 13 €; un bolígrafo y cuatro cuadernos, 16 €. ¿Cuánto cuesta cada cosa?
Ver solución
b = precio del bolígrafo, c = del cuaderno. 3b + 2c = 13 y b + 4c = 16.
Se multiplica la segunda por 3: 3b + 12c = 48. Restando la primera: 10c = 35 → c = 3,5.
Y b = 16 − 4 · 3,5 = 2.
Comprobación: 3 · 2 + 2 · 3,5 = 13 y 2 + 4 · 3,5 = 16.
Descargar ejercicios de sistemas de ecuaciones en PDF
Todos los ejercicios de sistemas de ecuaciones de matemáticas resueltos paso a paso, de 2.º de ESO a Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Sistemas de ecuaciones en 2.º de ESO
En 2.º se empieza por la sustitución con sistemas sencillos y por traducir problemas de dos datos.
Y el cuadernillo completo de 2.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Sistemas de ecuaciones en 3.º de ESO
En 3.º entran los tres métodos y los tipos de sistema, y los problemas se complican (mezclas, edades, monedas).
Y el cuadernillo completo de 3.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 3.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Sistemas de ecuaciones en 4.º de ESO
En 4.º aparecen sistemas con fracciones y los no lineales, y se empieza a mirar qué significa gráficamente cada tipo.
Y el cuadernillo completo de 4.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Sistemas en 2.º de Bachillerato
En 2.º el sistema se resuelve con matrices y se clasifica con el teorema de Rouché, que es la versión formal de lo mismo.
Y el cuadernillo completo de 2.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.