Asíntotas: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de asíntotas resueltos paso a paso: verticales, horizontales, oblicuas y el estudio completo de una función.
Cada uno con su solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
Las tres, y cuál excluye a cuál
Lo que hay que saber
Una asíntota es una recta a la que la gráfica se acerca sin tocarla (o tocándola, pero acercándose) cuando x o y se van al infinito.
Verticales: donde se anula el denominador. ⛔ Pero eso no basta: si el numerador se anula en el mismo punto, puede no haber asíntota sino un hueco. Hay que simplificar antes.
Horizontales: se comparan los grados. Si abajo es mayor, y = 0; si son iguales, el cociente de los coeficientes principales; si arriba es mayor, no hay.
Oblicuas: solo cuando el grado de arriba es exactamente uno más que el de abajo, y se encuentra dividiendo: el cociente es la asíntota.
⚠ Horizontal y oblicua son incompatibles: o una, o la otra, o ninguna. Verticales, en cambio, puede haber varias.
Asíntotas verticales
⛔ El último es el que de verdad enseña el tema: el denominador se anula y NO hay asíntota. Si te quedas con «donde se anula el denominador», lo fallas.
1Halla las asíntotas verticales de f(x) = 1 / (x − 2).
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El denominador se anula en x = 2, y ahí el numerador vale 1 ≠ 0.
Hay una asíntota vertical en x = 2.
2Halla las asíntotas verticales de f(x) = 1 / (x2 − 4).
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x2 − 4 = 0 da x = 2 y x = −2, y el numerador no se anula en ninguno.
Hay dos: x = 2 y x = −2.
3Halla las asíntotas verticales de f(x) = (x2 − 1) / (x − 1).
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El denominador se anula en x = 1… pero el numerador también: x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).
⛔ Al simplificar queda f(x) = x + 1: no hay asíntota, hay un hueco. Que el denominador se anule NO basta.
Asíntotas horizontales
4Halla la asíntota horizontal de f(x) = 1 / x.
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El grado de abajo (1) es mayor que el de arriba (0), así que el límite en el infinito es 0.
La asíntota horizontal es y = 0.
5Halla la asíntota horizontal de f(x) = (2x + 1) / (x − 3).
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Los grados son iguales (1 y 1), así que el límite es el cociente de los coeficientes principales: 2/1 = 2.
La asíntota horizontal es y = 2.
6Halla la asíntota horizontal de f(x) = (3x2 − 1) / (x2 + 2).
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Mismo grado arriba y abajo: 3/1 = 3.
La asíntota horizontal es y = 3.
Asíntotas oblicuas
7Halla la asíntota oblicua de f(x) = (x2 + 1) / x.
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x2 + 1 entre x da x de cociente y 1 de resto, así que f(x) = x + 1/x.
La asíntota oblicua es y = x.
8Halla la asíntota oblicua de f(x) = (x2 + 2x − 1) / (x + 1).
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Dividiendo, el cociente es x + 1 y el resto −2, así que f(x) = x + 1 − 2/(x + 1): esa última parte se hace 0 cuando x crece.
La asíntota oblicua es y = x + 1.
9Halla la asíntota oblicua de f(x) = (2x2 + x) / (x − 1).
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Dividiendo, el cociente es 2x + 3 y el resto 3.
La asíntota oblicua es y = 2x + 3.
Todas las asíntotas de una función
10Halla todas las asíntotas de f(x) = (2x + 1) / (x − 3).
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Verticales: x = 3.
Horizontal: y = 2. ⚠ Al haber horizontal, no hay oblicua.
11Halla todas las asíntotas de f(x) = (x2 + 1) / x.
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Verticales: x = 0.
Oblicua: y = x. ⚠ Al haber oblicua, no hay horizontal.
Descargar ejercicios de Asíntotas Matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de asíntotas de matemáticas resueltos paso a paso, de 4.º de ESO y Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Asíntotas en 4.º de ESO
En 4.º aparecen al estudiar la función de proporcionalidad inversa (la hipérbola y = k/x), que tiene los dos ejes como asíntotas.
Y el cuadernillo completo de 4.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Asíntotas en 1.º de Bachillerato
1.º es el curso del tema: las tres clases y el estudio completo de una función racional.
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
1.º de Bachillerato en PDF 1.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Asíntotas en 2.º de Bachillerato
En 2.º son una parte de la representación de funciones, junto con la derivada, y caen en selectividad dentro de ese ejercicio.
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.