Límites: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de límites de matemáticas resueltos paso a paso: por sustitución directa, la indeterminación 0/0, los límites en el infinito, los laterales y los que llevan raíces.
Cada uno trae la solución desplegable, y el PDF con todos para imprimir.
⚠ La continuidad, las asíntotas y las derivadas tienen su propia página.
Cómo se calcula un límite
Lo que hay que saber
El límite de una función en un punto es el valor al que se acerca, se acerque o no la función a ese valor justo ahí. Por eso un límite puede existir donde la función no existe.
Lo primero que se hace siempre es sustituir. Si sale un número, ese es el límite y se acabó.
⚠ Si sale 0/0, eso no es un resultado: es una indeterminación, y significa que hay que trabajar más — casi siempre factorizando y simplificando, o multiplicando por el conjugado si hay raíces.
Límites por sustitución directa
1Calcula el límite de f(x) = x2 + 3x − 1 cuando x tiende a 2.
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Lo primero que se intenta siempre es sustituir.
Se sustituye y ya está: 22 + 3·2 − 1 = 4 + 6 − 1.
El límite es 9.
2Calcula el límite de f(x) = (2x + 1) / (x − 4) cuando x tiende a 1.
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Lo primero que se intenta siempre es sustituir.
El denominador en x = 1 vale −3, que no es 0, así que se sustituye: 3 / (−3).
El límite es −1.
Indeterminación 0/0
⚠ 0/0 no es un resultado: es «hay que trabajar más».
3Calcula el límite de f(x) = (x2 − 4) / (x − 2) cuando x tiende a 2.
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Al sustituir sale 0/0, que no es un resultado: es una indeterminación.
Se factoriza el numerador: x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
Se simplifica el (x − 2) y queda el límite de x + 2, que en x = 2 vale 4.
El límite es 4.
4Calcula el límite de f(x) = (x2 − 5x + 6) / (x − 2) cuando x tiende a 2.
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Sale 0/0.
El numerador tiene raíces 2 y 3: (x − 2)(x − 3).
Queda x − 3, que en x = 2 vale −1.
El límite es −1.
5Calcula el límite de f(x) = (x3 − 1) / (x − 1) cuando x tiende a 1.
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Sale 0/0.
x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1).
Queda x2 + x + 1, que en x = 1 vale 3.
El límite es 3.
Límites en el infinito
Se comparan los grados de arriba y de abajo.
6Calcula el límite de f(x) = (3x2 + 1) / (x2 − 5) cuando x tiende a +∞.
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Arriba y abajo el grado es el mismo (2).
Cuando el grado coincide, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado: 3/1.
El límite es 3.
7Calcula el límite de f(x) = (2x + 7) / (x2 + 1) cuando x tiende a +∞.
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Abajo el grado es mayor (2 contra 1).
Cuando abajo manda, el límite es 0: el denominador crece mucho más deprisa.
El límite es 0.
8Calcula el límite de f(x) = (x3 + 2) / (x + 1) cuando x tiende a +∞.
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Arriba el grado es mayor (3 contra 1).
Cuando arriba manda, el límite es infinito. ⚠ Y el signo lo deciden los coeficientes principales y hacia dónde va la x: aquí los dos son positivos y x → +∞.
El límite es +∞.
Límites laterales
⚠ Si los dos laterales no coinciden, el límite NO existe.
9Calcula los límites laterales de f(x) = 1 / (x − 2) cuando x tiende a 2.
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En x = 2 el denominador se anula, así que hay que mirar los dos lados por separado.
Por la derecha (x un poco mayor que 2), x − 2 es positivo y muy pequeño: la fracción se dispara a +∞.
Por la izquierda, x − 2 es negativo y muy pequeño: el límite es −∞.
⚠ Los dos laterales son distintos, así que el límite no existe en x = 2. Lo que sí hay es una asíntota vertical.
10Calcula el límite por la izquierda de f(x) = 1 / (x − 2) cuando x tiende a 2.
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Por la izquierda x − 2 es negativo y cada vez más pequeño en valor absoluto.
Una fracción con numerador 1 y denominador negativo diminuto se va a −∞.
Límites con raíces: el conjugado
11Calcula el límite de f(x) = (√x − 2) / (x − 4) cuando x tiende a 4.
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Al sustituir sale 0/0.
Se multiplica arriba y abajo por el conjugado (√x + 2):
Arriba queda (√x − 2)(√x + 2) = x − 4, que se simplifica con el denominador.
Queda 1 / (√x + 2), que en x = 4 vale 1/4.
El límite es 1/4.
12Calcula el límite de f(x) = (√(x + 1) − 1) / x cuando x tiende a 0.
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Sale 0/0.
Por el conjugado (√(x + 1) + 1): arriba queda (x + 1) − 1 = x.
Se simplifica la x y queda 1 / (√(x + 1) + 1), que en x = 0 vale 1/2.
Descargar ejercicios de límites de matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de límites de matemáticas resueltos paso a paso, de 1.º y 2.º de Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Límites en 1.º de Bachillerato
En 1.º se aprende a calcularlos: sustitución, 0/0 y los límites en el infinito. Es la puerta de entrada a todo el análisis.
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
1.º de Bachillerato en PDF 1.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Límites en 2.º de Bachillerato
En 2.º el límite pasa a ser herramienta: con él se estudian la continuidad, las asíntotas y la derivada, y cae en la EBAU dentro de problemas más grandes.
Y el cuadernillo completo de 2.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
2.º de Bachillerato en PDF 2.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.