Funciones: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de funciones de matemáticas resueltos paso a paso: dominio, puntos de corte con los ejes, la recta, la parábola y problemas.
Cada uno trae la solución desplegable con todos los pasos, y el PDF con todos para imprimir.
⚠ Los límites, la continuidad, las asíntotas, las derivadas y las integrales tienen su propia página: aquí está la función en sí.
Qué hay que saber de una función
Lo que hay que saber
Una función asigna a cada valor de x un único valor de y. Lo primero que se mira de ella es su dominio (dónde existe) y sus cortes con los ejes.
Las dos que más se usan en la ESO: la recta y = mx + n, donde la m es la pendiente y la n dónde corta al eje Y; y la parábola y = ax² + bx + c, cuyo vértice está en x = −b/(2a).
⚠ El signo de la a decide si la parábola abre hacia arriba (y el vértice es un mínimo) o hacia abajo (y es un máximo).
Dominio de una función
Solo hay dos cosas que estropean el dominio en este nivel: un denominador que se anula y una raíz cuadrada de un número negativo.
1Halla el dominio de f(x) = 1 / (x − 3).
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Una fracción no existe donde el denominador se anula.
x − 3 = 0 en x = 3, así que el dominio es todos los reales menos el 3.
2Halla el dominio de f(x) = (x + 1) / (x2 − 4).
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Se anula el denominador donde x2 = 4.
Son dos valores, x = 2 y x = −2: el dominio es todos los reales menos esos dos.
3Halla el dominio de f(x) = √(x − 5).
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Dentro de una raíz cuadrada no puede haber un número negativo.
Hace falta x − 5 ≥ 0, o sea x ≥ 5.
Puntos de corte con los ejes
Con el eje X se hace f(x) = 0; con el eje Y, x = 0. ⚠ Con el X puede haber varios o ninguno; con el Y, como mucho uno.
4Halla los puntos de corte con los ejes de f(x) = 2x − 6.
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Corte con el eje X: se hace f(x) = 0. 2x − 6 = 0 da x = 3, o sea el punto (3, 0).
Corte con el eje Y: se hace x = 0. f(0) = −6, o sea el punto (0, −6).
5Halla los puntos de corte con los ejes de f(x) = x2 − 9.
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f(x) = 0 da x = 3 y x = −3: dos cortes, (3, 0) y (−3, 0).
f(0) = −9: el punto (0, −9).
⚠ Con el eje X puede haber varios cortes; con el eje Y, como mucho uno.
6Halla los puntos de corte con los ejes de f(x) = x2 + 1.
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f(x) = 0 daría x2 = −1, que no tiene solución real.
⛔ Esta función no corta al eje X: su gráfica está entera por encima. Sí corta al Y en (0, 1).
Función afín: la recta
7Para y = 2x + 1, halla la pendiente, la ordenada en el origen y tres puntos.
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En y = mx + n, la m es la pendiente y la n la ordenada en el origen (donde corta al eje Y).
Aquí m = 2 (sube 2 por cada 1 que avanza) y n = 1.
Puntos: (0, 1), (1, 3), (−2, −3).
8Para la recta que pasa por (0, 4) y (2, 10), halla la pendiente, la ordenada en el origen y tres puntos.
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La pendiente es el incremento de y entre el de x: m = (10 − 4) / (2 − 0) = 3.
Como pasa por (0, 4), la n es 4 directamente.
La recta es y = 3x + 4.
Puntos: (0, 4), (2, 10).
Función cuadrática: la parábola
El vértice está en x = −b/(2a), y el signo de a decide si es mínimo o máximo.
9Halla el vértice de la parábola y = x2 − 4x + 3 y di si abre hacia arriba o hacia abajo.
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El vértice está en x = −b / (2a) = 4 / 2 = 2.
Su altura es f(2) = 4 − 8 + 3 = −1, así que el vértice es (2, −1).
Como a = 1 es positivo, la parábola abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.
10Halla el vértice de la parábola y = −x2 + 2x + 3 y di si abre hacia arriba o hacia abajo.
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x = −2 / (2·(−1)) = 1.
f(1) = −1 + 2 + 3 = 4: el vértice es (1, 4).
⚠ a = −1 es negativo, así que abre hacia abajo y el vértice es un máximo.
Problemas con funciones
11Un taxi cobra 3 € fijos más 1,20 € por kilómetro. Escribe la función del precio y calcula lo que cuestan 12 km.
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El precio depende de los kilómetros: f(x) = 3 + 1,20x, una función afín.
La n = 3 es lo que se paga sin moverse y la m = 1,20 lo que sube por kilómetro.
f(12) = 3 + 1,20 · 12 = 3 + 14,40 = 17,40 €.
12Se lanza una pelota y su altura en metros es h(t) = −5t2 + 20t. ¿En qué momento alcanza la altura máxima y cuál es?
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Es una parábola con a = −5, negativa, así que abre hacia abajo y tiene un máximo.
t = −20 / (2 · (−5)) = 2 segundos.
h(2) = −5 · 4 + 40 = 20 metros.
⚠ Y una comprobación que el enunciado no pide pero conviene: la pelota toca el suelo cuando h = 0, o sea en t = 0 y t = 4. El máximo cae justo en medio, como tiene que ser.
Descargar ejercicios de funciones de matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de funciones de matemáticas resueltos paso a paso, de 2.º de ESO a Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Funciones en 2.º de ESO
En 2.º se empieza por leer gráficas y por la proporcionalidad: tablas, puntos y la recta que pasa por el origen.
Y el cuadernillo completo de 2.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Funciones en 4.º de ESO
En 4.º entran el dominio, los cortes con los ejes y la parábola con su vértice.
Y el cuadernillo completo de 4.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Funciones en 1.º de Bachillerato
En Bachillerato la función se estudia entera: dominio, cortes, continuidad, límites y derivadas. Cada una de esas piezas tiene aquí su propia página.
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
1.º de Bachillerato en PDF 1.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.