Ecuaciones: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de ecuaciones de matemáticas resueltos paso a paso, ordenados por tipo: de primer grado, de segundo grado, bicuadradas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas y problemas.
Cada uno trae la solución desplegable con todos los pasos y la comprobación, que en varias de ellas no es opcional. Y el PDF con todos para imprimir.
⚠ Si lo que buscas son sistemas de ecuaciones (dos ecuaciones con dos incógnitas), eso es otra página: ejercicios de sistemas de ecuaciones. Aquí hay una sola incógnita.
Cómo se resuelve una ecuación
Lo que hay que saber
Resolver una ecuación es encontrar el valor (o los valores) de x que hacen que los dos lados valgan lo mismo. Se despeja: lo que suma pasa restando y lo que multiplica pasa dividiendo.
En las de segundo grado se usa la fórmula general, y lo que manda es el discriminante b2 − 4ac: si es positivo hay dos soluciones, si vale 0 hay una y si es negativo no hay ninguna real.
⛔ Y hay tres tipos donde comprobar la solución es parte del ejercicio, no un extra: en las racionales (puede anular un denominador), en las irracionales (elevar al cuadrado inventa soluciones falsas) y en las logarítmicas (lo de dentro del logaritmo tiene que ser positivo).
Ecuaciones de primer grado
1Resuelve: 3x + 5 = 20.
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Se pasa el 5 restando: 3x = 15. Se divide entre 3.
La solución es x = 5.
Comprobación: se sustituye en la ecuación de partida y los dos lados valen lo mismo.
2Resuelve: 4(x − 2) = 12.
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Primero el paréntesis: 4x − 8 = 12. Luego 4x = 20.
La solución es x = 5.
Comprobación: se sustituye en la ecuación de partida y los dos lados valen lo mismo.
3Resuelve: (x + 1)/2 = (x − 3)/4.
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Se multiplican los dos lados por 4: 2(x + 1) = x − 3, o sea 2x + 2 = x − 3.
La solución es x = −5.
Comprobación: se sustituye en la ecuación de partida y los dos lados valen lo mismo.
Ecuaciones de segundo grado (cuadráticas)
Fórmula general y discriminante. ⚠ Cuando falta un término no hace falta la fórmula, y al sacar factor común no se puede dividir por x: se perdería la solución x = 0.
4Resuelve: x2 − 5x + 6 = 0.
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Con la fórmula, a = 1, b = −5, c = 6: el discriminante es 25 − 24 = 1, y su raíz es 1.
x = (5 ± 1) / 2, o sea x = 3 y x = 2.
Las soluciones son x = 2 y x = 3.
5Resuelve: 2x2 − 8x = 0.
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Falta el término independiente: se saca factor común 2x(x − 4) = 0.
Un producto es 0 si lo es alguno de sus factores: x = 0 o x = 4. ⚠ El x = 0 se pierde si se divide por x, y dividir por x es justo lo que no se puede hacer.
Las soluciones son x = 0 y x = 4.
6Resuelve: x2 + x + 1 = 0.
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Con a = 1, b = 1, c = 1 el discriminante es 1 − 4 = −3.
⚠ Es negativo, y no hay ningún número real cuyo cuadrado sea negativo.
La ecuación no tiene solución real. ⛔ No es que la solución sea 0: es que no hay. (En 1.º de Bachillerato se verá que sí la tiene entre los números complejos.)
Ecuaciones bicuadradas
Se cambia t = x2. ⚠ Cada t positivo da dos valores de x, y los t negativos se descartan.
7Resuelve: x4 − 5x2 + 4 = 0.
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Se llama t = x2 y queda t2 − 5t + 4 = 0, que es de segundo grado.
Sus soluciones son t = 1 y t = 4.
Se deshace el cambio: de x2 = 1 salen x = 1 y x = −1; de x2 = 4, x = 2 y x = −2. ⚠ Cada t positivo da DOS x.
Las soluciones son x = 1, −1, 2, −2.
8Resuelve: x4 − 16 = 0.
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Con t = x2: t2 = 16, o sea t = 4 y t = −4.
⚠ El t = −4 se descarta: x2 no puede ser negativo.
Queda x2 = 4, o sea x = 2 y x = −2: solo dos soluciones, no cuatro.
Las soluciones son x = 2, −2.
Ecuaciones racionales (con fracciones)
⚠ Al final se comprueba que la solución no anule ningún denominador.
9Resuelve: (x + 1)/(x − 1) = 3.
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Se multiplican los dos lados por (x − 1): x + 1 = 3(x − 1).
x + 1 = 3x − 3 → 4 = 2x → x = 2. ⚠ Y hay que mirar que x = 2 no anule el denominador: no lo anula, así que vale.
La solución es x = 2.
10Resuelve: 2/(x − 3) = 1.
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Se multiplica por (x − 3): 2 = x − 3.
x = 5, que no anula el denominador.
La solución es x = 5.
Ecuaciones irracionales (con raíces)
⛔ Elevar al cuadrado puede inventar soluciones que no lo son. La comprobación en la ecuación de partida es parte del ejercicio.
11Resuelve: √(x + 3) = 2.
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Se elevan al cuadrado los dos lados: x + 3 = 4.
x = 1.
Comprobación: √(1 + 3) = √4 = 2.
12Resuelve: √(x + 7) = x + 1.
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Al cuadrado: x + 7 = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.
Queda x2 + x − 6 = 0, que da x = 2 y x = −3.
⛔ Y aquí viene lo importante: hay que comprobar las dos. Con x = 2: √9 = 3 y 2 + 1 = 3, coinciden. Con x = −3: √4 = 2, pero −3 + 1 = −2, y 2 no es −2, así que no vale
La solución es solo x = 2. Elevar al cuadrado puede inventar soluciones que no lo son, así que en una ecuación con raíz la comprobación no es opcional.
Ecuaciones exponenciales
Se escriben los dos lados con la misma base y se igualan los exponentes.
13Resuelve: 2x = 8.
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8 es 23, así que 2x = 23.
Si las bases son iguales, los exponentes también: x = 3.
La solución es x = 3.
14Resuelve: 2x+1 = 16.
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16 es 24.
x + 1 = 4, o sea x = 3.
La solución es x = 3.
Ecuaciones logarítmicas
Se juntan los logaritmos en uno solo y se quita el logaritmo. ⚠ Lo de dentro tiene que quedar positivo.
15Resuelve: log x = 2.
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El logaritmo decimal pregunta «a qué hay que elevar 10».
102 = 100, o sea x = 100.
La solución es x = 100.
16Resuelve: log x + log 2 = log 10.
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La suma de logaritmos es el logaritmo del producto: log(2x) = log 10.
Si los logaritmos son iguales, lo son los números: 2x = 10, o sea x = 5. ⚠ Y hay que comprobar que el 5 es positivo: el logaritmo de un número negativo no existe.
La solución es x = 5.
Problemas con ecuaciones
Lo difícil no es resolver: es traducir. Se nombra lo que no se sabe, se escribe la frase con símbolos y se comprueba contra el enunciado.
17Un número y su doble suman 27. ¿Qué número es?
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Se llama x al número: x + 2x = 27.
3x = 27, o sea x = 9.
Comprobación: 9 y su doble 18 suman 27.
18El perímetro de un rectángulo es 36 cm y el largo es el doble del ancho. ¿Cuánto mide el ancho?
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Si el ancho es x, el largo es 2x, y el perímetro es 2(x + 2x).
2 · 3x = 36 → 6x = 36 → x = 6.
El ancho mide 6 cm y el largo 12 cm. Comprobación: 2 · (6 + 12) = 36.
19Un móvil cuesta 240 € con un 20 % de descuento. ¿Cuál era el precio antes?
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Con un 20 % de descuento se paga el 80 %, o sea 0,8 · x.
0,8x = 240 → x = 240 / 0,8 = 300.
⚠ El fallo típico es sumarle el 20 % a los 240 (saldría 288): el porcentaje se aplica sobre el precio de ANTES, que es justo lo que no se sabe.
Descargar ejercicios de ecuaciones de matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de ecuaciones de matemáticas resueltos paso a paso, de 1.º de ESO a Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Ecuaciones en 1.º de ESO
En 1.º se empiezan las de primer grado y, sobre todo, a traducir enunciados a una ecuación. Lo que más cuesta no es despejar: es poner nombre a lo que no se sabe.
Y el cuadernillo completo de 1.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Ecuaciones en 2.º de ESO
En 2.º aparecen las ecuaciones con denominadores y con paréntesis, y los problemas se complican (edades, mezclas, perímetros).
Y el cuadernillo completo de 2.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Ecuaciones en 3.º de ESO
En 3.º entran las de segundo grado con la fórmula general y el discriminante, que es lo que decide cuántas soluciones hay.
Y el cuadernillo completo de 3.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
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Ecuaciones en 4.º de ESO
En 4.º se añaden las bicuadradas, las racionales y las irracionales, que son donde aparecen las soluciones falsas.
Y el cuadernillo completo de 4.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Ecuaciones en 1.º de Bachillerato
En Bachillerato las ecuaciones dejan de ser el tema y pasan a ser la herramienta: exponenciales y logarítmicas, y resolverlas rápido para usarlas dentro de otros problemas.
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
1.º de Bachillerato en PDF 1.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.