Probabilidad: ejercicios de matemáticas resueltos paso a paso
Aquí tienes los ejercicios de probabilidad de matemáticas resueltos paso a paso: espacio muestral, regla de Laplace, suceso contrario y unión, diagramas de árbol, probabilidad condicionada y tablas de contingencia.
Cada uno trae la solución desplegable con el recuento explicado, que es donde está casi todo el trabajo. Y el PDF con todos para imprimir.
⚠ La distribución binomial y la normal tienen su propia página: aquí está la probabilidad de ESO y 1.º de Bachillerato.
Cómo se calcula una probabilidad
Lo que hay que saber
La regla de Laplace: casos favorables entre casos posibles. Pero con una condición que se olvida mucho: todos los casos tienen que ser igual de probables. Con un dado trucado la regla no sirve.
⚠ Lo que más se falla no son las cuentas: es el recuento. Con dos monedas hay 4 resultados (CC, CX, XC, XX), no 3: cara-cruz y cruz-cara son distintos.
Y dos atajos que ahorran mucho: el suceso contrario (sobre todo cuando el enunciado dice «al menos uno») y el diagrama de árbol cuando hay dos extracciones seguidas.
Espacio muestral y casos posibles
⚠ Con dos monedas son 4 casos, no 3: CX y XC son resultados distintos. Contarlos mal estropea todo lo que venga después.
1Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es el espacio muestral y qué probabilidad hay de sacar dos caras?
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El espacio muestral son todos los resultados posibles: CC, CX, XC y XX. Son 4.
⚠ CX y XC son resultados distintos: contar «una cara y una cruz» como un solo caso es el error clásico, y lleva a decir 1/3 en vez de 1/4.
Favorables a «dos caras» hay 1, así que la probabilidad es 1/4.
2Se lanzan dos dados y se suman. ¿Qué probabilidad hay de que la suma sea 7?
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El espacio muestral tiene 6 · 6 = 36 resultados.
La suma 7 sale con (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1): 6 casos.
P = 6/36 = 1/6. Es la suma más probable de las dos.
Regla de Laplace
3Se lanza un dado. ¿Qué probabilidad hay de sacar un número par?
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La regla de Laplace: casos favorables entre casos posibles, siempre que todos sean igual de probables.
Casos posibles: 6. Favorables (2, 4 y 6): 3.
P = 3/6 = 1/2.
4De una baraja española de 40 cartas se saca una. ¿Qué probabilidad hay de que sea oros?
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La regla de Laplace: casos favorables entre casos posibles, siempre que todos sean igual de probables.
La baraja tiene 4 palos de 10 cartas, así que hay 10 oros.
P = 10/40 = 1/4.
5En una bolsa hay 3 bolas rojas, 5 azules y 2 verdes. ¿Qué probabilidad hay de sacar una roja?
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La regla de Laplace: casos favorables entre casos posibles, siempre que todos sean igual de probables.
En total hay 3 + 5 + 2 = 10 bolas.
P = 3/10 = 0,3.
Suceso contrario y unión de sucesos
⚠ Al unir dos sucesos no se suman sin más: lo que está en los dos se contaría dos veces.
6Se lanza un dado. ¿Qué probabilidad hay de NO sacar un 6?
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Se puede contar directamente (1, 2, 3, 4 y 5 son 5 casos) o usar el suceso contrario.
P(no 6) = 1 − P(6) = 1 − 1/6 = 5/6.
⚠ El suceso contrario ahorra mucho trabajo cuando los favorables son muchos y los desfavorables pocos.
7Se lanza un dado. ¿Qué probabilidad hay de sacar par O mayor que 3?
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Par: {2, 4, 6}. Mayor que 3: {4, 5, 6}.
⚠ No se suman 3 + 3 = 6: el 4 y el 6 están en los dos y se contarían dos veces.
La unión es {2, 4, 5, 6}: 4 casos. P = 4/6 = 2/3.
Con la fórmula: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6.
Probabilidad compuesta: diagrama de árbol
Lo que lo cambia todo es si hay reemplazamiento o no: sin él, la segunda extracción depende de la primera.
8En una urna hay 4 bolas rojas y 6 azules. Se sacan dos con reemplazamiento. ¿Qué probabilidad hay de que las dos sean rojas?
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Con reemplazamiento la bola se devuelve, así que la segunda extracción no se entera de la primera: las dos tienen 4 rojas de 10.
P = (4/10) · (4/10) = 16/100 = 4/25.
9La misma urna (4 rojas y 6 azules), pero sin reemplazamiento. ¿Qué probabilidad hay de que las dos sean rojas?
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Sin reemplazamiento, después de sacar una roja quedan 3 rojas de 9 bolas.
P = (4/10) · (3/9) = 12/90 = 2/15.
⚠ Es menor que con reemplazamiento, y tiene sentido: al quitar una roja quedan menos.
10Se lanzan dos monedas. ¿Qué probabilidad hay de sacar al menos una cara?
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«Al menos una» es el momento de usar el contrario: lo contrario de «al menos una cara» es «ninguna cara», o sea las dos cruces.
P(XX) = 1/4, así que P(al menos una cara) = 1 − 1/4 = 3/4.
Probabilidad condicionada
Saber algo reduce el espacio muestral: ya no se cuenta sobre el total, sino sobre lo que cumple la condición.
11Se lanza un dado y sale un número mayor que 3. ¿Qué probabilidad hay de que sea par?
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Saber que es mayor que 3 reduce el espacio muestral: ya no son 6 casos, son {4, 5, 6}, o sea 3.
De esos, pares hay 2 (el 4 y el 6).
P(par | mayor que 3) = 2/3. ⚠ Sin la condición sería 1/2: la información cambia la probabilidad.
12Urna con 4 rojas y 6 azules, sin reemplazamiento. La primera ha salido roja. ¿Qué probabilidad hay de que la segunda también lo sea?
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Ya se ha sacado una roja, así que quedan 9 bolas y 3 rojas.
P(2.ª roja | 1.ª roja) = 3/9 = 1/3.
Tablas de contingencia
⚠ «Chica Y aprueba» y «aprueba SI es chica» no son lo mismo: cambia el denominador.
13En una clase de 100 alumnos hay 40 chicos y 60 chicas. Aprueban 30 chicos y 45 chicas. ¿Qué probabilidad hay de que sea chica Y haya aprobado?
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Es la casilla donde se cruzan las dos cosas: 45 alumnas.
P = 45/100 = 9/20.
14En una clase de 100 alumnos hay 40 chicos y 60 chicas. Aprueban 30 chicos y 45 chicas. Si se elige una chica, ¿qué probabilidad hay de que haya aprobado?
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⚠ Ahora el espacio muestral son solo las chicas: 60, no 100.
P(aprobar | chica) = 45/60 = 3/4.
Compárese con la anterior: 9/20 y 3/4 son distintas porque la pregunta es distinta.
Problemas de probabilidad
«Al menos uno» casi siempre se resuelve por el contrario.
15Se lanza un dado dos veces. ¿Qué probabilidad hay de sacar al menos un 6?
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«Al menos uno» pide el contrario: lo contrario es ningún 6 en las dos tiradas.
P(ningún 6) = (5/6) · (5/6) = 25/36.
P(al menos un 6) = 1 − 25/36 = 11/36.
⚠ No es 1/6 + 1/6 = 1/3: eso contaría dos veces el caso de sacar dos seises.
16De la misma caja (12 bombillas, 3 fundidas) se cogen dos sin devolverlas. ¿Qué probabilidad hay de que las dos estén bien?
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Buenas hay 9. La primera buena: 9/12. Quedan 11 bombillas y 8 buenas: 8/11.
P = (9/12) · (8/11) = 72/132 = 6/11.
Descargar ejercicios de probabilidad de matemáticas en PDF
Todos los ejercicios de probabilidad de matemáticas resueltos paso a paso, de 2.º de ESO a Bachillerato, en un PDF para imprimir o estudiar sin conexión. Es material propio: no es el libro de ninguna editorial.
Probabilidad en 2.º de ESO
En 2.º se empieza por contar: qué resultados hay, cuáles son favorables y la regla de Laplace con dados, monedas y bolas.
Y el cuadernillo completo de 2.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Probabilidad en 3.º de ESO
En 3.º aparecen el suceso contrario y la unión de sucesos, y los primeros experimentos de dos pasos.
Y el cuadernillo completo de 3.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 3.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Probabilidad en 4.º de ESO
En 4.º llegan los diagramas de árbol y la diferencia entre sacar con reemplazamiento y sin él, que es lo que más se pregunta.
Y el cuadernillo completo de 4.º de ESO, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 4.º de ESO están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Probabilidad en 1.º de Bachillerato
En 1.º se formaliza la probabilidad condicionada y se trabaja con tablas de contingencia, que son la forma en que llegan los datos reales.
Y el cuadernillo completo de 1.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 1.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.
Probabilidad en 2.º de Bachillerato
En 2.º la probabilidad se junta con la estadística: probabilidad total, teorema de Bayes y las distribuciones, que tienen su propia página.
Y el cuadernillo completo de 2.º de Bachillerato, con este tema y todos los demás del curso:
2.º de Bachillerato en PDF 2.º de Bachillerato (CCSS) en PDF
¿Qué libro usas en clase? En solucionarios de matemáticas de 2.º de Bachillerato están todas las editoriales de ese curso, cada una con su ISBN y sus ejercicios resueltos.